平面解析几何双曲线

1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a|F1F2|2a＝|F1F2|2a|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)图形x2a2y2b2y2a2x2b2性质范围_________________________________________对称性对称轴：对称中心：_______________顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线_____________________离心率e＝，e∈，其中c＝___________________________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝(ca0，cb0)x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点y＝±baxy＝±abx(1，＋∞)a2＋b22a2ba2＋b2ca巧设双曲线方程【知识拓展】(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0).(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()基础自测×123456√×(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()√√123456∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.2.[P53T1]若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.5B.5C.2D.2题组二教材改编答案解析123456√解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.3.[P54A组T6]经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________.解析答案x28－y28＝1123456解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，故所求方程为x28－y28＝1.∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3，故选A.题组三易错自纠4.(2016·全国Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(－1,3)B.(－1，3)C.(0,3)D.(0，3)答案√解析123456解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，解析答案5.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为A.73B.54C.43D.53√解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝53.故选D.1234566.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为_____________.故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.解析答案x24－y2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，123456可设该双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，题型分类深度剖析命题点1利用定义求轨迹方程典例已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.题型一双曲线的定义及标准方程多维探究解析答案x2－y28＝1(x≤－1)几何画板展示命题点2利用待定系数法求双曲线方程典例根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；解答54解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0).由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答解∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.解答(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7).解设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0).∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题典例已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝_____.34解析∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.解析答案1.本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？引申探究解答解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，12FPFS∴＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.解答2.本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴＝12|PF1|·|PF2|＝2.12FPFS(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.思维升华x2a2－y2b2跟踪训练(1)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________.解析答案513x216－y29＝1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.即x216－y29＝1.(2)(2016·天津)已知双曲线＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为解析答案x24－y2b2A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D.x24－y212＝1√典例(1)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是A.2x±y＝0B.x±2y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0解析题型二双曲线的几何性质师生共研答案√两边同除以a2，得2ca2－3ca－2＝0，答案解析(2)(2016·山东)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______.2解析由已知得|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，∴2×2b2a＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.＝2231－13＝2.故选A.跟踪训练(2016·全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为A.2B.32C.3D.2√解析离心率e＝|F1F2||MF2|－|MF1|，由正弦定理得e＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝sin∠F1MF2sin∠MF1F2－sin∠MF2F1解析答案典例(2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是________.解析题型三直线与双曲线的综合问题师生共研答案(1，2)解析由直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1联立方程组，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以1－k2≠0，Δ＝4k2＋81－k20，－k1－k21，1－k2＋2k－21－k20，解得1k2.(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.思维升华A.0或－10B.0或－2C.－2D.－10跟踪训练(2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线x22－y23＝1上存在两点P，Q关于直线y＝x＋b对称，且PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，则实数b的值为解析答案√典例若直线y＝kx＋2与曲线x＝交于不同的两点，那么k的取值范围是直线与圆锥曲线的交点现场纠错y2＋6A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1纠错心得现场纠错错解展示课时作业1.(2018·新余摸底)双曲线x2a2－y24a2＝1(a≠0)的渐近线方程为A.y＝±2xB.y＝±12xC.y＝±4xD.y＝±2x基础保分练1234