2020届高考数学理一轮复习讲义95第1课时椭圆

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e＝ca＝1－ba2知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．提示点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示直线与椭圆的位置关系有三种的方程：相离、相切、相交．判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.(1)直线与椭圆相离⇔Δ0.(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.(3)直线与椭圆相交⇔Δ0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(2)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．(√)题组二教材改编2．椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．12答案C解析当焦点在x轴上时，10－mm－20，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.3．过点A(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.x215＋y210＝1B.x225＋y220＝1C.x210＋y215＝1D.x220＋y215＝1答案A解析由题意知c2＝5，可设椭圆方程为x2λ＋5＋y2λ＝1(λ0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.4．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．答案152，1或152，－1解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以P点坐标为152，1或152，－1.题组三易错自纠5．若方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)答案C解析由方程表示椭圆知5－m0，m＋30，5－m≠m＋3，解得－3m5且m≠1.6．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21答案C解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1答案A解析∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43，∴a＝3，∵离心率为33，∴c＝1，∴b＝a2－c2＝2，∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案A解析由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12答案C解析由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.3．椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.72B.32C.3D．4答案A解析F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴，∴P－3，±12，∴|PF1|＝12，∴|PF2|＝4－12＝72.4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴|PA|＋|PF|≤6＋2，|PA|＋|PF|≥6－2.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.x212＋y211＝1B.x236－y235＝1C.x23－y22＝1D.x23＋y22＝1答案D解析由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1，故选D.(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)答案A解析由|AC|＋|BC|＝18－8＝108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．命题点2待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为__________．答案y210＋x26＝1解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n0，m≠n)．由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________．答案x28＋y26＝1解析∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴4a2＋3b2＝1，2a＝4c，又a2＝b2＋c2，∴a＝22，b＝6，c＝2，∴椭圆方程为x28＋y26＝1.思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．跟踪训练1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.x236＋y29＝1B.x29＋y236＝1C.x24＋y29＝1D.x29＋y24＝1答案A解析依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e＝ca＝1－b2a2＝32，即1－b236＝32，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1，故选A.(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______________．答案x2＋32y2＝1解析设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋y2b2＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)．∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，则∴A(1－b2，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→＝3F1B→，∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)．∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B的坐标为－531－b2，－b23.将B－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)(2018·通辽模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33答案D解析方法一如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2ccos30°＝43c3，|PF2|＝2c·tan30°＝23c