中考数学专题冲刺高分狙击专题分析解题方法知识结构典例精选能力评估检测专题六四边形与多边形

专题六四边形与多边形【专题分析】四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；中考中四边形与多边形所占比重约为10%～15%.【解题方法】解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.【知识结构】【典例精选】：如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为()A．13B．14C．15D．16【思路点拨】设出新多边形的边数，根据多边形内角和公式求出新的边数，新边数减1即原多边形的边数．答案：B规律方法：解答此类问题，如果题目中没有给出图形及剪法要根据题意画出图形，按照截线位置的不同分情况讨论.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是BC，BA的中点，连结DE，F在DE的延长线上，且AF＝AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．【思路点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角可得∠F＝∠CED，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；(2)根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，即得∠CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数．【自主解答】(1)证明：如图，∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，∴CE＝AE＝BE.∵AF＝AE，∴AF＝CE.在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线和顶角平分线，∴∠1＝∠2.∵AF＝AE，∴∠F＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF.又∵CE＝AF，∴四边形ACEF是平行四边形．(2)解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【思路点拨】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，即可得出结论；(2)由等腰直角三角形的性质得AD＝BD＝CD，再结合(1)中结论可得出结论．【自主解答】(1)证明：∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝12BC.由(1)知四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．规律方法：牢记平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是解决此类问题的关键，一般证明步骤为先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形或菱形，最后证四边形为正方形.如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．(1)求证：△ADP≌△ECP；(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO，NO，如图②所示．请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．【思路点拨】(1)由四边形ABCD是菱形及点P是CD的中点，可证△ADP≌△ECP；(2)过点P作PH∥CE交DE于点H，可得HPCE＝DPCD＝12，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以PKBK＝HPBE＝14，可得BP＝3PK，从而得出n＝3；(3)过点O作OG⊥AE于点G，又由BM⊥AE，KN⊥AE可得BM∥OG∥KN，进而可得MGNG＝BOOK＝1，又点O是线段BK的中点，所以MG＝NG，进而可证△MON是等腰三角形；假设BC＝2，由已知条件可求得BP＝3，AP＝7，利用面积法可求BM＝2217，在Rt△BMP中，利用勾股定理可求PM＝377，再由(2)可得PB＝3PO，则OG＝13BM＝22121，MG＝23MP＝277，在Rt△MOG中，求出tan∠MOG的值，即得∠MOG的度数，∠MON的度数即可求．【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAP＝∠CEP，∠ADP＝∠ECP.又∵点P是CD的中点，∴DP＝CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)．(2)解：如图，过点P作PH∥CE交DE于点H，∵点P是CD的中点，∴HPCE＝DPDC＝12.又由(1)知△ADP≌△ECP，∴AD＝CE.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CE，∴BE＝2CE.PKBK＝HPBE＝14，即BK＝4PK，∴BP＝3PK，即n＝3.(3)解：如图，过点O作OG⊥AE于点G，又∵BM⊥AE，KN⊥AE，∴BM∥OG∥KN.∵点O是线段BK的中点，∴MGNG＝BOOK＝1，∴MG＝NG，即OG是线段MN的中垂线．∴OM＝ON，即△MON是等腰三角形．由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC＝2，则CP＝1，由勾股定理，得BP＝3，则AP＝7，根据三角形面积公式，得BM＝2217，由(2)得PB＝3PO，∴OG＝13BM＝22121，MG＝23MP＝277，tan∠MOG＝MGOG＝3，∴∠MOG＝60°.∴∠MON＝120°.规律方法：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角，利用菱形的性质可以解决有关线段的计算求值、推理证明等问题.【能力评估检测】一、选择题1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是(C)A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是(B)A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为(A)A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定4．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为(A)A．23B.323C.3D．65．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF，若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为(C)A．4B．46C．47D．286．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C)A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结DE，DF.若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是(D)A．2B．4C．6D．8【解析】由作图可知MN是AD的垂直平分线，∴AE＝ED，AF＝FD.又∵AD平分∠BAC，MN⊥AD，设AD与MN的交点为O，∴△AOE≌△AOF，∴AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，∴四边形AFDE为菱形，∴ED∥AF，∴△BED∽△BAC，∴BEBA＝BDBC.∵BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，∴BE4＋BE＝69，得BE＝8.故选D.8．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是()A．43B．33C．23D.3【解析】如图，连结AC，BD，则△ABC与△ADC都是等边三角形．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴BE＝CE，CF＝DF.∴S△ABE＝S△ACE＝S△ACF＝S△ADF＝14S菱形ABCD.∵EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴S△CEFS△CBD＝122＝14，即S△CEF＝18S菱形ABCD，则S△AEF＝38S菱形ABCD.∵sin60°＝AEAB＝32，AB＝4，∴AE＝23.则S菱形ABCD＝BC·AE＝4×23＝83，∴S△AEF＝38S菱形ABCD＝33.故选B.答案:B9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝25D．AF＝EF【解析】如图，由折叠得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，∴∠2＝∠3，∴AE＝AF，故选项A正确；由折叠得CD＝AG，∠C＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)，故选项B正确；设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在Rt△AGF中，根据勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝8－x＝5，则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理，得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，故选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF，故选项D错误．答案:D10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AE＝AD.在△ABE和△AHD中，∠BAE＝∠DAE，∠ABE＝∠AHD＝90°，AE＝AD，∴△ABE≌△AHD(AAS)，∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵AB＝AH，∴∠AHB＝12(180°－45°)＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED.∴OE＝OH.∵∠DHO＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD.在△BEH和△HDF中，∠EBH＝∠DHF＝22.5°，BE＝HD，∠HEB＝∠HDF＝45°，∴△BEH≌△HDF(ASA)，∴BH＝HF，故③正确；∵HE＝AE－AH＝BC－CD，∴BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝(BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C.答案:C二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AE∥CF，∠AEB＝∠FCB，