2014年上海市数学高考真题文

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数212cos(2)yx的最小正周期是___________．2．若复数12zi，其中i是虚数单位，则1·zzz___________．3．设常数aR，函数2()1fxxxa．若(2)1f，则(1)f___________．4．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________．5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________．6．若实数,xy满足1xy，则222xy的最小值为___________．7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为___________（结果用反三角函数值表示）．8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于___________．9．设,0,()1,0.xaxfxxxx若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围为___________．10．设无穷等比数列na的公比为q，若1a34lim()nnaaa，则q___________．11．若2132()fxxx，则满足()0fx的x的取值范围是___________．12．方程sin3cos1xx在区间[0,2]上的所有的解的和等于___________．13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是___________（结果用最简分数表示）．14．已知曲线2:4Cxy，直线:6lx．若对于点(,0)Am，存在C上的点P和l上的Q使得0APAQ，则m的取值范围为___________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设,abR，则“4ab”是“2a且2b”的（）2014年上海市数学高考真题（文）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,ab满足0ab，集合22,,abab，则ab（）A．2B．2C．0D．117．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，(1,2,,7)iPi是小正方形的其余顶点，则·(1,2,,7)iABAPi的不同值的个数为（）A．7B．5C．3D．118．已知111(,)Pab与222(,)Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组112211axbyaxby的解的情况是（）A．无论12,,kPP如何，总是无解B．无论12,,kPP如何，总有唯一解C．存在12,,kPP，使之恰有两解D．存在12,,kPP，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形123PPP，如图，求123PPP的各边长及此三棱锥的体积V．20．设常数0a，函数2()2xxafxa．（1）若4a，求函数()yfx的反函数1()yfx；（2）根据a的不同取值，讨论函数()yfx的奇偶性，并说明理由．21．如图，某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米．设点A,B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0laxbyc和点111222(,),(,)PxyPxy，记1122()()axbycaxbyc．若0，则称点12,PP被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点12,PP被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分隔；（2）若直线ykx是曲线2241xy的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点(0,2)Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E．求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．23．已知数列{}na满足1133nnnaaa，*nN，11a．（1）若2342,,9aaxa，求x的取值范围；（2）设{}na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{}na的公比；（3）若12100,,,aaa成等差数列，求数列12100,,,aaa的公差的取值范围．参考答案1、2T2、63、34、2x5、706、227、1arcsin38、249、2a10、15211、01x12、7313、11514、[2,3]15、B16、D17、C18、B19、在123PPP中，1323,PAPAPCPC，所以AC是中位线，故1224.PPAC同理，23314,4.PPPP所以123PPP是等边三角形，各边长均为4.设Q是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以22223,6.33AQPQAPAQ从而，122.33ABCVSPQ20、（1）因为2424xxy，所以4(1)2,1xyy得1y1,y且24(1)log1yxy.因此，所求反函数为124(1)()log,11xfxxx1.x（2）当0a时，()1fx，定义域为R，故函数()yfx是偶函数；当1a时，21(),21xxfx定义域为(,0)(0,),2121()()2121xxxxfxfx，故函数()yfx是奇函数；当0a且1a时，定义域22(,log)(log,)aa关于原点不对称，故函数()yfx既不是奇函数，也不是偶函数.21、（1）记CDh.根据已知得tantan20，tan,tan3580hh，所以22800,351()80hhh解得20228.28h.因此，CD的长至多约为28.28米.（2）在ABD中，由已知，56.57,115AB，由正弦定理得sinsin()BDAB，解得85.064.BD在BCD中，由余弦定理得2222cos,CDBCBDBCBD解得26.93.CD所以，CD的长约为26.93米.22、（1）因为40,所以点,AB被直线10xy分隔.（2）直线ykx与曲线2241xy有公共点的充要条件是方程组2241ykxxy有解，即1||.2k因为直线ykx是曲线2241xy的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k.当1||2k时，对于直线ykx，曲线2241xy上的点(1,0)和(1,0)满足20,k即点(1,0)和(1,0)被ykx分隔.故实数k的取值范围是11(,][,).22（3）设M的坐标为(,)xy，则曲线E的方程为22(2)||1,xyx即222[(2)]1.xyx对任意的00,(0,)yy不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.又曲线E上的点(1,2)和(1,2)对于y轴满足0,即点(1,2)和(1,2)被y轴分隔.所以y轴为曲线E的分割线.若过原点的直线不是y轴，设其为ykx.由222[(2)]10ykxxyx得222[(2)]10xkxx，令222()[(2)]1fxxkxx，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0ffk，所以方程()0fx有实数解，即直线ykx与曲线E有公共点，故直线ykx不是曲线E的分隔线.综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23、（1）由条件得263x且933xx，解得36.x所以x的取值范围是[3,6].（2）设{}na的公比为q.由133nnaa，且110nnaaq，得0.na因为1133nnnaaa，所以13.3q从而1111111(),3100010003mmmmaqq，解得8m.8m时，711[,3].10003q所以，m的最小值为8，8m时，{}na的公比为7410.10（3）设数列12100,,,aaa的公差为.d则123,,1,2,,99.33nnnnnaadaadan①当0d时，999821,aaaa所以102da，即02.d②当0d时，999821,aaaa符合条件.③当0d时，999821,aaaa所以999922,3ada2(198)2(198)3ddd，又0d，所以20.199d综上，12100,,,aaa的公差的取值范围为2[,2].199