达朗贝尔原理(动静法)

第三篇动力学工程力学多媒体课件第十三章达朗贝尔原理D’Alembert’sprincipleInertial-forcemethodDynamic-staticmethod§13-1惯性力的概念§13-2质点的动静法§13-3质点系的动静法§13-1刚体定轴转动时轴承的动反力§13-4刚体惯性力系的简化第十三章达朗贝尔原理§13-1惯性力的概念InertialForce第十三章达朗贝尔原理§13-1惯性力的概念引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——动静法(达朗贝尔原理)。动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。动静法一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第十三章达朗贝尔原理§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理FNFRFaxzyOmA非自由质点Am——质量；sS——运动轨迹。FN——约束力；F——主动力；§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理FRFNFaxzyOmFI根据牛顿定律ma＝F+FNF+FN－ma＝0FI＝－maF+FN＋FI＝0——质点的惯性力质点的动静法:作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理FI＝－maF+FN＋FI＝0应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力；4、列写形式上的平衡方程，求解未知量。§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理非自由质点达朗贝尔原理的投影形式000INININizzzziyyyyixxxxFFFFFFFFFFFF§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理例题1BACllllO1x1y1离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理解：BACllllO1x1y11、分析受力：以球B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力BFT1FT2CFT3F´T1m1gm2g§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理2、分析运动：施加惯性力。FI＝m1l2sin重锤静止，无惯性力。FIBFT1FT2m1gCFT3m2gFT1′3、应用动静法：0)cos(00)sin(sin0T2T111T2T1211FFgmFFFlmFyx对于重锤CgmFFFFFFyx2T3T11T3T11coscos000＝对于球Bglmmm2121cosFI例题2平衡位置Oyyy＝Asint求：颗粒脱离台面的最小振动频率振动筛§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理平衡位置Oyy平衡位置OyymaWmaWFNFNFIFI解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理平衡位置OyymaWFNFI解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。FI＝mA2sint0sin2N＝＋－tmAWF应用动静法颗粒脱离台面的条件FN＝0，sint＝1时，最小。Ag＝§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理平衡位置OyymaWFNFI解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。0sin2N＝tmaWF应用动静法0sin2NtmaWF＋＝颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理§13-2质点的动静法第十三章达朗贝尔原理[Example3]Atrainisrunningalongahorizontalrailway,andasinglependulumishanginginthecarriage.Whenthecarriagemovestotherightwithanuniformacceleration,thesinglependulumwillturntotheleftbyanangle,anddoesnotmoverelativetothecarriage.Determinetheaccelerationofthecarriagea.Investigatethesinglependulum,addthevirtualinertialforces.maQ.0cossin,0QmgX.tggaTheanglechangeswiththeaccelerationa,whenadoesnotchange,theangledoesnotchange,too.Ifweknowtheangletheaccelerationaofthetraincanbecalculated.Thisisthetheoryofapendulumaccelerometer.SolutionAccordingtothedynamic-staticmethodwehaveSolvingitweget§13-3质点系的动静法第十三章达朗贝尔原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系niF,,F,,F,F21niNN2N1NF,,F,,F,FniII2I1IF,,F,,F,F§13-3质点系的动静法对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到0IN＝iiiiiiFFF0)()()(IN＝iiiOiOiiOFMFMFM0)(,0FMFOR＝第十三章达朗贝尔原理例4：xy杆AB长2l，两端各有一重P的重物，此杆连同重物以匀角速度ω绕通过杆轴线的铅垂轴Oz转动。O点到轴承C、D的距离均为b。杆AB与铅垂轴Oz所成的角度保持为常数α。不计杆的重量与重物的大小，求当杆在平面Oyz内时，轴承C与D处的反力。解：整体——研究对象；受力分析；CyFCxFDyFDxFDzFPP分析运动，加惯性力；nAanBaIAFIBF2sinlaanBnA2sinlgPFFIBIA惯性力与其它所有力一起，形式上构成一平衡力系列写动静法方程，求解,0ixF0DxCXFF,0)(iyMF02bFCX,0iyF0IBIADyCyFFFF,0)(ixMF0coscossin22PlPllFbFIACy,0izF0PPFDZPFDZ2CyFDxFDyFCxF§13–4刚体惯性力系的简化一、惯性力系的主矢CiiIRmmaaF)(主矢：——适用于刚体作任何运动。二、几种刚体运动中惯性力系的简化1.刚体作平行移动将惯性力系向质心C简化主矩：)(iiiICmarMarCm00结论1：CIRmaF主矢：aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2FIRCa刚体平动时，其惯性力系合成为质心C点的一合力，此力的大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。2.刚体作定轴转动仅限于具有垂直于转轴z的质量对称平面的情形。（1）将空间的惯性力系——简化为一平面的惯性力系：取直线AiBi//z轴，与质量对称平面的交点Mi，AiBi直线AiBi作平动，惯性力系简化为其质心Mi的一合力FIi，iainaIiFIiFnIiF类似地，将其它直线的惯性力系也都简化质量对称平面合惯性力。——变成一平面的惯性力系。（2）将平面的惯性力系——向轴与对称平面的交点O简化：IiFIiFnIiF设直线AiBi的质量为mi，则nIiIiIiFFFiiIimaFininIimaFiiIirmF2iinIirmF主矢：CIiIRmaFFnIRIRFFnIiIiFFCaCIRmaFnCnIRmaFIiFIiFnIiF主矢：CIiIRmaFFnIRIRFFnIiIiFFCIRmaFnCnIRmaF主矩：)(IiOIOMMFir)()(nIiOIiOMMFF0iiiiIirrmrF)()(2iirmzJzIOJM（13-7）IRFIOM结论2：刚体定轴转动时，其惯性力系过转动中心O的一个力Fii和质量对称平面内的一力偶MIO。CIRmaFzIOJM——加在轴与对称平面的交点O上；——质量对称平面内。IRFIOM结论2：刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心O的一个力FIR和质量对称平面内的一力偶MIO。CIRmaFzIOJM——加在轴与对称平面的交点O上；——质量对称平面内。几种特殊情形：（1）转轴通过刚体的质心，则0Ca0IRF惯性力系合成为一合力偶：zIOJMzCJ——加在对称平面内CICIOJMM（2）刚体作匀速转动，则00IOM惯性力系合成为一合力：CIRmaFnCma)(2meFIR（3）刚体作匀速转动，且转轴通过刚体的质心，则0IRF0IOM——惯性力系自成平衡称这种平衡为动平衡。2meFIR3.刚体作平面运动限于研究具有质量对称平面，且在平行于该平面运动的情形。与前面定轴转动类似，第一步：将惯性力系向对称平面简化；第二步：向质心C简化。MiirCCaCaiCaniCaniCiCCMiaaaaCimaiCimaniCimaCMiiriCaniCaiCimaniCima绕质心转动部分CMiirCaCaCima随质心平动部分IRFICMCCaIRF其中：CIRmaFCICJMICMCCaIRFICM结论3：刚体平面运动时，其惯性力系简化为质心C的一个力FIR和质量对称平面内的一力偶MIC。CIRmaFCICJM——加在质心C上；——质量对称平面内。（13-8）（13-9）说明：（1）平面运动情形，也可向对称平面任一点简化，但其简化结果将与上述结果不同。试问：简化结果将什么不同？（2）刚体定轴转动可以视为平面运动的特殊情况，也向质心C简化。ABxACBFTmg例题5已知：m，l，，=const求：BC绳的张力及A处约束反力。解：取AB杆为研究对象dFIFIFAxFAydxxlmdFsin2sin21sin202mldxxlmFl分析AB杆的运动，计算惯性力0000mgFFFFFFAyyTAxx0sin2cos32cos0lmglFlFMTAmgFmgmlFmgmlFAyAxTtan21sin61tan21sin3122例题6OA均质杆件OA，A端铰接，在铅垂位置时受微小扰动运动到倾斜位置。求：1、惯性力的简化结果；2、O处的约束力。解：1、运动分析杆件OA绕O轴作定轴转动，假定转动角速度和角加速度分别为和。2、受力分析OMInIτI,FF，,2τIlgWF,22nIlgWFOOJMI惯性力主动力W，约束力FOx、FOy，3、应用动静法先求未知运动量和sin230sin20)F(lglWJMOO＝，－)cos-(13ddlgt解：1、运动分析杆件OA绕O轴作定轴转动，和。2、受力分析,2τIlgWF,22nIlgWFOOJMI3、应用动静法先求未知运动量和)cos-(13,sin23lglg＝4、应用动静法求动约束力0cos202WlgWFFOxx0sin20WlgWFFOyy)5cos-(32WFOxsin4WFO