刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11

1第六章最优控制第一节概论从性能指标上看机电控制系统的典型提古典控制：次优或亚优现代控制：最优从性能指标上看，机电控制系统的典型提法有：‹稳态性能‹动态性能古典控制下的动态性能指标时域:‹上升时间tr‹超调量Mp‹调节时间频域:‹幅值裕度和相角裕度‹穿越频率‹频宽和‹调节时间ts‹频宽：ω-3db和ω-90°特点：系统的控制结构是确定的;控制参数设计一般采用试凑方法;不是最优结果。例：转台系统性能Technicalparametersforturntable(1)(1)Technicalparametersforturntable(2)2什么是最优控制？例1：用一定面积的铁皮做罐头桶，求桶容积的最大值解：设桶高h，底面积半径为r，有2(,)Vrhrhπ=2(,)2()Arhrrhππ=+3()rVA约束条件：铁皮面积：消去h通过实例来初步认识30()2VrArπ=−消去h：0dVdr=06Arπ=023Ahπ=2260dVrdrπ=−3/20136mVAπ=有：故极点为极大值某种性能指标最优下的控制实现例2直流他励电动机的运动方程为tJTIKDFDmddω=−其中，为转矩系数；为转动惯量；为恒定的负载转矩mKDJ为恒定的负载转矩；FT希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻上的损耗最小，求θDRttIREDtDfd)(20∫=)(tIDDI因为是时间的函数，E又是的函数，E是函数的函数，称为泛函。DI0()dftttωθ=∫采用状态方程表示，令θ=1xωθ===&&12xxDFDDmJTIJKx−==ω&&2于是FDDDmTJIJKxxxx⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10000102121&&（1）初始状态⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡0)0(1x末值状态⎥⎤⎢⎡=⎥⎤⎢⎡)(1θftxDI控制不受限制初始状态⎥⎦⎢⎣=⎥⎦⎢⎣0)0(2x末值状态⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣0)(2ftxDI控制不受限制性能指标ttIREDtDfd)(20∫=)(tID本问题的最优控制提法是：在数学模型（1）的约束下，寻求一个控制，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为最小。例3对于例2中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(tID时刻的静止状态转过一个角度又停下，求控制（是受到限制的），使得所需时间最短。00=tθ()DIt这也是一个最优控制问题：系统方程为FDDDmTJIJKxxxx⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10000102121&&⎤⎡⎤⎡0)0(x⎤⎡⎤⎡)(θt初始状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00)0()0(21xx末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θfftxtx)(tIDmaxDI≤性能指标ftttJf==∫0d最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制max()DDItI≤，将x(t0)转移到x(tf)，使J为最小最优控制问题的一般概念‹有状态描述‹给出条件初值‹给出性能指标寻求最优控制及相应的最优轨迹容许控制下最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。（极值化的指标）轨迹最优控制的蕴涵（内含）（1）被控系统的数学模型系统的状态方程：(,,)xfxut•=[(),(),)]xfxtutt•=或：状态方程从某种意义上可理解为等式约束条件（2）控制变量的限制uU∈叫做容许控制实际系统中，控制变量不可能任意取值，如输入能力是有限的，一般可表达成：（3）初始条件和终值条件初值条件：状态变量在初始时刻t0的状态：x(t0)=x0终值条件：状态变量在终值时刻tf的状态：x(tf)=xf3（4）指标函数（泛函，目标函数）20()Jetdt∞=∫最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标改变，最优控制方案跟着改变。①积分型例：系统误差函数e(t)=x(t)－xf取：若xf=0：20()Jxtdt∞=∫当J最小时，表明过度过程振荡最小。指标函数的典型类型：当最小时表明过度过程振荡最小——避免正负相消对于多变量系统，J可写成：0()()TJxtQxtdt∞=∫Q为加权阵，通常1000000nqQq⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O01()2TTJxQxuRudt∞=+∫0[(),(),)fttJLxtuttdt=∫00ftftJdttt==−∫或：一般写成：如：为快速最优问题取平方的目的？②终值型表示控制过程终了时，对状态变量的终值的某些需求或限制。实际如最小稳态误差、最准确的定位等③复合型（兼有上面两项）[(),]ffJxttφ=0[(),][(),(),)ftfftJxttLxtuttdtφ=+∫积分型中已隐含了对终值状态的要求，但在复合型中更为强调。最优控制问题的一般性定义系统状态方程为),(tux,fx=&初始状态为)(0tx其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数，它是x、u和t的连续函数，并且对x、t连续可微。x()uut=],[0fttuU∈)(tx)(tx寻求在的容许控制或，将系统状态从转移到或的一个集合，并使性能指标最优。其中是x、u和t的连续函数),,(tuxLfx)(0tx)(ftxttttJfttffd),,(]),([0∫+=uxLxφ最优控制问题就是求解三个条件（状态限制条件、边界条件、性能指标）下的u*所得的u(t)即为最优控制u*(t)。对应的状态方程的解用x*(t)表示u*=u*(t)：开环u*=u*(x)：闭环最优求解问题的提出J为极值，才能定出最大或最小。对一般函数，用微分法，如J=a1t－a2t2，可通过对J求导定出一定t下的极值。2201[()()]2ftJxtrutdt=+∫对于一般因为x、u是t的函数，故J为函数的函数：泛函泛函的极值要用“变分法”求解第二节最优控制的变分法求解()dttxJt∫=0()tx()ttx=[]21J函数（自变量是变数）泛函（自变量是函数）()ttx=()ttxcos=[]22txJ=[]txJsin=一、泛函与变分法1、泛函的基本定义：)(tx如果对于某个函数集合中的每一个函数，变量J都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数的泛函，记作{})(tx)(tx[])(txJ泛函为标量可以理解为“函数的函数”当变量函数x(t)确定时，J取值一定泛函为标量，可以理解为“函数的函数”例如：ttxxJd)(][30∫=（其中，为在上连续可积函数）)(tx]3,0[当时，有；当时，有。ttx=)(5.4=Jtetx=)(13−=eJ[]()dJxxtt=∫是否是泛函？不是，因为其取值不定4泛函如果满足以下条件时，称为线性泛函：)]([tJx1），其中c为任意常数；2）)]([)]([tcJtcJxx=)]([)]([)]()([2121tJtJttJxxxx+=+对于一个任意小正数，总是可以找到，当时，有εδδ−)()(0ttxx)()(0ttxx=对于个任意小数总是可以找到当时有,就称泛函在处是连续的。0ε−)]([)]([0tJtJxx[x()]Jt2、泛函的变分)(tx所谓泛函的宗量的变分是指两个函数间的差。)]([tJx)()(δ0ttxxx−=nRtt∈∀)(),(0xx定义：设是连续泛函，其增量可表示为][xJ]δ,[]δ,[][]δ[][ΔxxxxxxxxrLJJJ+=−+=]δ,[xxr其中，是关于的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小。则称为泛函的变分。]δ,[xxLxδxδ]δ,[δxxLJ=][xJ自变量函数无穷小则称为泛函的变分]δ,[δxxJ][xJ泛函的变分：[]00()limJJxtxxαααδδαα→=∂Δ+==∂函数f(t)达到极值的必要条件：()0dft=泛函F[x(t)]达到极值的必要条件：0Fδ=函数中，x在x1处的增量为：x1-x=∆x微分：dx=∆x→0泛数中，x(t)在x1(t)处的增量为：x1(t)-x(t)=∆x(t)变分：δx=∆x(t)→0∆x是由在同一t值上有x(t)的变化引起3、泛函变分的规则1）2121δδ)δ(LLLL+=+2）122121δδ)δ(LLLLLL+=3）ttLttLbabad],,[δd],,[δxxxx&&∫∫=4）xxδddddδtt=二、无约束条件的泛函极值无约束条件：这里指状态轨迹无状态方程制约。设在上二次连续可微，且已知：()()[]dtttxtxFJftt∫=0,,&0,ftt⎡⎤⎣⎦[]txxF,,&()00xtx=()ffxtx=nRx∈性能指标边界条件求()*minxtJ=使得()tx*x*(t)x(t)=x*(t)+x(t)ttft0x(t)最优轨迹求：00(,,)ffttttFFJFxxtxxdtxxδδδδ•⎡∂∂⎤⎛⎞⎛⎞==+⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫&&00fttJFdtδδ==∫用来求极值思路：多元泛函求极值：0fttFxdtxδ∂⎛⎞⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫&&采用分部积分法，利用udv=uv-vdu其中：000000fffffttttttttttFFdFJxdtxxdtxxdtxFFdFxxdtxxdtxδδδδδδ∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+−=⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫∫&&&&则：令两项分别为零，可推得下面两式50=∂∂−∂∂xFdtdxF&()()000ftftFxtxtxxδδ∂∂⎛⎞⎛⎞−=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠&&00fttFdFxdtxdtxδ∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂⎝⎠∫&欧拉方程[]txxF,,&2222220FFdxFdxFxdtdtxxxtx•••∂∂∂∂−−−=∂∂∂∂∂∂这是包含x(t)二阶微分的方程，其通解含有两个任意常数，可用第一个式子确定例1：求平面上两固定点连线最短的曲线解：t()tx()()()222dtdxds+=()()22dtdxds+=0tftt()()dtdxds+=00222[()1]()1ffttttdxJdsdtxdtdt⇐=+=+∫∫∫&()txF21&+=cxx=+21&&()222(1)xcx••=+0=∂∂−∂∂xFdtdxF&221cxac•==−201dxdtx⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠&&∴()battx+=ba,由边界条件确定。分四种边界条件讨论0tftt()tx1x2x3x给定（固定始端和固定终端）()()xtxt（1）给定（固定始端和固定终端）边界条件：()()0,fxtxt()00,xtδ=()0=ftxδ()00xtx=()ffxtx=（1）例2.已知，求的[]()()[]dttxtxxJ∫−=2022π&()00,22xxπ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠min=J()xt∗[]22F&&F2∂解：2Fx•∂=[]22,xxxxF−=xx2−=∂xxFdtd&&&2=∂∂⇒0=+xx&&()*12cossinxtctct=+12:0,2cc==由边界条件解：()*2sinxtt=则：2xx•=∂()0tftt()tx1x2x3x（2）任意（始端和终端自由）任意边界条件：()()0,fxtxt()()0,fxtxtδδ00,tFx∂=∂&0=∂∂ftxF&()()000ftftFxtxtxxδδ∂∂⎛⎞⎛⎞−=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠&&由6t()tx0tft3x2x1x任取，给定，自由始端、固定终端.任意，边界条件：()0xt()ftx()0txδ()0=ftxδ00,tFx∂=∂&()ffxtx=（3）给定任取固定始端()t()tt()tx0tft1x2x3x给定，任取，固定始端、自由终端任意边界条件：()0xt()ftx(),00=txδ()ftxδ0=∂∂ftxF&()00xtx=（4）例：地对空导弹的飞行轨迹问题属于初始端固定、终值端变化022()fttJxxtdt••=+∫设：t0=1，x(1)=1，tf=2,，x(2)为任意值。求x*(t)轨迹解：2012FFxtxx••∂∂==+∂∂，20(12)0dxtdt•−+=21221122ccxtcxtt••−−+===则有：代入欧拉方程：解得：12()cxtc