【浙江专版】必修2《空间几何体》阶段质量检测试卷(一)含解析

阶段质量检测（一）空间几何体(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等解析：选B棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．2．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选D根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选A底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.4．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°解析：选C设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝nπL180°＝nπ×2R180°，∴2πR＝2nπR180°，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④解析：选A若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.6.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．15解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析：选D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.8．(山东高考)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π解析：选C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝12V圆柱＋14V球＝12×π×12×2＋14×43π×13＝43π.答案：43π10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________，表面积为________．解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝1212＋12＋22＝1，所以V球＝4π3×13＝4π3，S球＝4π×12＝4π.答案：43π4π11．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由________和________组成的，若它的体积是π＋26，则a＝________.解析：由三视图可知该几何体可以看成是由一个三棱锥和半个圆锥组成的．半圆锥的底面半径为1，高为a，三棱锥的底面是以2为直角边长的等腰直角三角形，高为a，所以该几何体的体积为13×12π＋12×2×2a＝π＋26，解得a＝1.答案：三棱锥半个圆锥112．某空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧视图的面积为________cm2，此几何体的体积为________cm3.解析：该几何体是半圆锥和半圆柱的组合体，侧视图面积为12π×12＝π2(cm2)，此几何体的体积为12×π×12×3＋13π×12×2＝11π6(cm3)．答案：π211π613．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，如图，其底面是一个边长为2的正方形，高为2，故其体积为V＝13×2×2×2＝83.在△ECD中，CD边上的高为2，故S△ECD＝12×2×2＝2.△EBC与△EAD是全等的直角三角形，BC⊥EC，且BC＝2，EC＝5，故S△EAD＝S△EBC＝12×2×5＝5.在△EAB中，EA＝EB＝3，AB＝2，则S△EAB＝12×2×9－1＝22，故该几何体的表面积为S＝2＋4＋25＋22＝2(3＋2＋5)．答案：832(3＋2＋5)14.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．解析：设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则V三棱台ABC­A1B1C1＝13(S0＋4S0＋2S0)h＝73S0h，V三棱柱FEC­A1B1C1＝S0h.设剩余的几何体的体积为V，则V＝73S0h－S0h＝43S0h，体积之比为3∶4或4∶3.答案：3∶4(或4∶3)15.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．解析：设圆锥筒的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝14×2π×4，所以r＝1，所以h＝42－12＝15，所以V＝13πr2h＝13×π×12×15＝153π.答案：153π三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A­BMC1C.结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A­BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝2，BM＝12，AM＝52，CC1＝1，AC1＝3，MC1＝52.17.(本小题满分15分)如图所示，在多面体FE­ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝12.所以AG＝GD＝BH＝HC＝32，S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝13×12×24×2＋24×1＝23.18.(本小题满分15分)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1­B1EDF的体积．解：连接EF，B1D1.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2.∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，∴h1＋h2＝B1D1＝2a.又S△C1EF＝12C1F·EF＝12×a2×2a＝24a2，∴VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝13·S△C1EF·(h1＋h2)＝13×24a2×2a＝16a3.19.(本小题满分15分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m铁丝．再用面积为Sm2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为rm.(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01)．(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)设圆柱的高为hm，由题意，可知4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16](0r0.6)．所以当r＝0.4时，Smax＝0.48π≈1.51(m2)．(2)由r＝0.3,2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6，则该灯笼的三视图为：20．(本小题满分15分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积S；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．又S圆锥侧＝πa×2a＝2πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S＝2πa2＋4πa2＋πa2＝()2＋5πa2.(2)沿点P与点Q所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋πa2＝a1＋π2，所以在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长为a1＋π2.