安徽省无为县2018届高三上第一次月考数学试卷(理)含答案

安徽省无为县2018届高三数学上学期第一次月考试题理（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2|20Axxx，2Bxx则()A.ABB.ABAC.ABAD.ABR2已知复数4mxi，32ni，若复数nRm，则实数x的值为（）A.6B.6C.83D.833.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A.22B.23C.43D.424.已知等边ABC与等边DEF同时内接于圆O中，且//BCEF，若往圆O内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（）A．3B．3C．32D．645.已知等比数列na，且684aa，则84682aaaa的值为（）A.2B.4C.8D.166.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的1.5S（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．97．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为1(,)2py，则sin(2)2a=（）A．12B．12C．32D．18、设x，y满足约束条件230,2210,0,xyxyxa若xyxy的最大值为2，则a的值为（）A．12B．14C．38D．599、已知向量3OA，2OB，OCmOAnOB，若OA与OB的夹角为60°，且OCAB，则实数mn的值为（）A.16B.14C.6D.410．函数2()()axbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是(）A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜011.四面体ABCD中，10ABCD，234ACBD，241ADBC，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A.50B.100C.200D.30012．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，211,10()132,01xgxxxxx，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，）B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知函数2()2sin()12fxxxx的两个零点分别为m、n（m＜n），则=14.已知数列na为等差数列，nb为等比数列，且0,0nnab，记数列nnab的前n项和为nS，若111,131nnabSnnN，则数列25nnab的最大项为第_______项.15.若5321ayxyx的展开式中各项系数的和为32，则展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为________16.已知双曲线2222:1xyCab的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MFFN，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．18、（本小题满分12分）2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人．（Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)；CBD19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．20.（本小题满分12分）已知A是抛物线24yx上的一点，以点A和点(2,0)B为直径的圆C交直线1x于M，N两点，直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若3OPOQ，且直线PQ与圆C相交所得弦长与||MN相等，求直线l的方程．21．（本小题满分12分）函数f（x）=lnx++ax（a∈R），g（x）=ex+．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式ex+x2﹣（e+1）x+＞2成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为1cos2sinxtyt，（t为参数，0），曲线C的极坐标方程为2sin2cos0.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求AB的最小值.23.已知函数52fxxx.（1）若xR，使得fxm成立，求m的范围；（2）求不等式2815()0xxfx的解集高三数学（理科）参考答案选择题一、1-5BCACD6-10BACAC11-12CC二、填空题13214.1415.-716.233三、解答题17.解：（本小题满分12分）（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC，∴a2+c2=b2﹣ac，…∴cosB==﹣=﹣，…∵B∈（0，π），…∴B=．…（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin∠BAD===，…∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，…∴sin∠BAC===．…18.解：(1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P＝1－189256＝67256.6分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C315，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C310C315＝2491，P(X＝1)＝C15C210C315＝4591，P(X＝2)＝C25C110C315＝2091，P(X＝3)＝C35C315＝291，X分布列为X0123P2491错误!错误!291所以E(X)＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1.8分12分19【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，），=（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．..20.解：（20.解：（Ⅰ）设200(,)4yAy，圆C方程为200(2)()()04yxxyyy，令1x，得2200104yyyy，∴0MNyyy，2014MNyyy，22200||||()44(1)24MNMNMNyMNyyyyyyy．（Ⅱ）设直线l的方程为xmyn，11(,)Pxy，22(,)Qxy，则由2,4,xmynyx消去x，得2440ymyn，124yym，124yyn，∵3OPOQ，∴12123xxyy，则21212()316yyyy，∴2430nn，解得1n或3n，当1n或3n时，当(2,0)B到直线l的距离211dm，∵圆心C到直线l的距离等于直线1x的距离，∴202181ym，又20024ymy，消去m得4200646416yy，求得208y，此时，200240ymy，直线l的方程为3x，综上，直线l的方程为1x或3x．21.解：（1）由题意得f'（x）=x++a=，当a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点；当a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时，①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x1，x2，则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2，∴x1，x2是函数的两个极值点．②a＞2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0，故函数没有极值点．综上，当a＜﹣2时，函数有两个极值点；当a≥﹣2时，函数没有极值点．（2）（i）f（x）≤g（x）等价于ex﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，即a≤对于∀x＞0恒成立，设φ（x）=（x＞0），φ′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1．（ii）（ii）由（i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），即：ex+x2≥lnx+x2+（e+1）x，等价于ex+x2﹣（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，以下证明：lnx+≥2，设θ（x）=lnx+，则θ′（x）=﹣=，∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，∴θ（x）≥θ（e）=2，∴lnx+≥2，②当且仅当x=e时取等号；由于①②等号不同时成立，故有ex+x2﹣（e+1）x+＞2．22.解：（I）由2sin2cos0，得22sin2cos.……4分曲线C的直角坐标方程为xy22……5分（II）将直线l的参数方程代入xy22，得22sin2cos10.tt……6分设,AB两点对应的参数分别为12,tt，则1222cossintt，1221sintt，……7分2121212()4ABtttttt2424cos4sinsin22.sin……9分当2时，AB的最小值为2.……10分23.解：（I）3,2,()|5||2|72,25,3,5.xfxxxxxx……