人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习(A)含答案

专题六三角函数模型的简单应用测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米）与时间（秒）满足关系式，则有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心距离水面2米，，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要秒，∴，∴，故选C.2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin()ωt＋φ(A0，ω0，0φπ2)的图象如图所示，则t＝1100秒时，电流强度I＝()A．－5安B．5安C．53安D．10安【答案】A3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是()A．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋5(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝7sinπ4x－π4＋5(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝7sinπ4x＋π4＋5(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x－π4＋5(1≤x≤12，x∈N*)【答案】D【解析】根据题意，T＝2(7－3)＝8，ω＝2πT＝π4，由A＋B＝7，－A＋B＝3，得A＝2，B＝5，当x＝3时，2sinπ4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋5.故选D.4．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点0P，离地面2m，风车翼片的一个端点P从0P开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离()hm与时间(min)t之间的函数关系式是（）A．()8sin106httB．()8cos106httC．()8sin86httD．()8cos86htt【答案】B5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A．y＝sinπ30t＋π6B．y＝sin－π60t－π6C．y＝sin－π30t＋π6D．y＝sin－π30t－π6【答案】C【解析】由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y＝sin－π30t＋φ0＜φ＜π2(秒针是顺时针走动)．∵初始位置为P032，12，∴t＝0时，y＝12.∴sinφ＝12，φ可取π6.∴函数解析式为y＝sin－π30t＋π6.故选C.6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【答案】C7.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin160πt＋110.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．90【答案】C【解析】由题意可得f＝1T＝160π2π＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，ymax＝3＋5＝8.故选C.9.【2017届福建省泉州市模拟三】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择sinyAxK（0,0A）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）A.5:00至5:30B.5:30至6:00C.6:00至6:30D.6:30至7:00【答案】C10.已知函数cos02fxx的部分图象如图所示，00fxf，则正确的选项是（）A．0,16xB．04,63xC．0,13xD．02,33x【答案】A【解析】由函数的图象可知302f，即3cos2，因为02，所以6，因为0302fxf，所以03cos2x，所以076x，解得01x，故选A．11．已知函数()sin2fxx向左平移6个单位后，得到函数()ygx，下列关于()ygx的说法正确的是（）A．图象关于点0,3-中心对称B．图象关于6x轴对称C．在区间6,125单调递增D．在3,6单调递减【答案】C【解析】函数()sin2fxx的图象向左平移6个单位，得到的图象对应的函数为32sin62sinxxy．对于A，当3x时，03siny．图象不关于点0,3-中心对称，∴A不正确；对于B，当6x时，00siny，图象不关于6x轴对称，∴B不正确；对于C，32sinxy的周期是．当12x时，函数取得最大值，1211x时，函数取得最小值，∵12,12116,125，∴在区间6,125单调递增，∴C正确；对于D，32sinxy的周期是．当12x时，函数取得最大值，∴在3,6单调递减不正确，∴D不正确；故选：C．12.将函数)62sin(2)(xxf的图象向左平移12个单位，再向上平移1个单位，得到)(xg的图象.若9)()(21xgxg，且]2,2[,21xx，则212xx的最大值为（）A．625B．635C．1249D．417【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的距离d()cm表示成t()s的函数，则d＝_____________，其中t∈[]0，60.【答案】10sinπ60t.【解析】如图所示，OA＝OB＝5()cm，秒针由B均匀地旋转到A的时间为t()s，则∠AOB＝π30t，取AB中点为C，则OC⊥AB，从而∠AOC＝12∠AOB＝π60t.在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝5sinπ60t，∴d＝AB＝10sinπ60t，t∈[]0，60.故填10sinπ60t.14．某实验室一天的温度（单位：0C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：102sin123ftt，0,24t，该实验室这一天的最大温差为__________．【答案】4【解析】因为102sin123ftt，所以731233t，当31232t时，即14t时，函数ft取得最大值为10212，当1232t时，即2t时，函数ft取得最小值为1028，所以一天的最大温差为1284．15.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为________次．【答案】25.【解析】∵f＝1T＝ω2π＝100π2π＝50，∴0.5s内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.16.某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3m，楼与楼之间相距15m，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．【答案】3.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．画出函数y＝|cosx|的图象并观察其周期．【答案】见解析.【解析】函数图象如图所示．从图中可以看出，函数y＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线．我们也可以这样进行验证：|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|，所以，函数y＝|cosx|是以π为周期的函数．18.如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h＝f(t)的关系式；(2)画出函数h＝f(t)的图象．【答案】（1）y＝－2cosπt6＋2，h＝f(t)＝－2cosπt6＋2.5.（2）见解析.【解析】(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.设∠OO1A＝θ，则cosθ＝2－y2，y＝－2cosθ＋2.又θ＝2π12·t＝πt6，所以y＝－2cosπt6＋2，h＝f(t)＝－2cosπt6＋2.5.(2)列表：t036912h0.52.54.52.50.5描点连线，即得函数h＝－2cosπ6t＋2.5的图象如图所示：19.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．【答案】6月份盈利最大.【解析】由已知条件可得，出厂价格函数关系式为y1＝2sinπ4x－π4＋6，销售价格函数关系式为y2＝2sinπ4x－34π＋8，则利润函数关系式为y＝m(y2－y1)＝m[2sinπ4x－34π＋8－2sinπ4x－π4－6]＝－22msinπ4x＋2m.当x＝6时，y＝2m＋22m＝(2＋22)m，即6月份盈利最大．20.设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x．（1）求并用“五点法”画出函数)(xfy在区间],0[上的图像；（2）求函数)(xfy的单调增区间；【答案】（1）34，图象见解析；（2）5[,],88kkkZ．【解析】（1）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，,1)82sin(.,24Zkk.43,0.45,,2,0,2,43],45,43[432,],0[txtx取时由知)432sin(xy432x4320245x08838587y22－101022故函数上图像是在区间],0[)(xfy（2）由题意得.,2243222Zkkxk得：Zkkxk,858所以函数.],85,8[)432sin(Zkkkxy的单调增区间为21