北京师大附中2010届高三第四次月考试卷

用心爱心专心北京师大附中2010届高三第四次月考试卷数学（理科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U＝R，集合{|1}Axx，{|2}Bxx，则UABð（B）A．{|12}xxB．{|12}xxC．{|1}xxD．{|2}xx【解析】由已知，2UCBxx，所以UABð{|12}xx，故选B.2.已知命题p：(,0),23xxx；命题q：(0,),tansin2xxx，则下列命题为真命题的是（C）A.p∧qB.p∨(﹁q)C.(﹁p)∧qD.p∧(﹁q)【解析】因为当x＜0时，2()13x，即23xx，所以命题p为假，从而﹁p为真.因为当(0,)2x时，sin(1cos)tansin0cosxxxxx，即tansinxx，所以命题q为真.所以(﹁p)∧q为真，故选C.3.已知向量a，b，则“a＝λb，λ∈R”成立的必要不充分条件是（D）A.a＋b＝0B.a与b方向相同C.a⊥bD.a∥b【解析】由a＝λb，λ∈Ra∥b；反之，当b＝0，a≠0时，a≠λb，故选D.4.将函数sin2yx的图象向左平移4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（B）A.cos4yxB.cosyxC.sin()4yxD.sinyx【解析】将函数sin2yx的图象向左平移4个单位，得到函数sin2()cos24yxx的图象，再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数cosyx的图象，故选B.5.南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐蚀剂的特种混凝土预制件.该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同.根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数.为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是（A）A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】因为6511213111FF，由分数法的最优性原理知，至多做5次试验就能找到其中的最佳点，故选A.6.设数列na为等差数列，其前n项和为nS，已知14799aaa，25893aaa，若对任意n∈N*，都有nkSS成立，则k的值为（C）A.22B.21C.20D.19【解析】设等差数列na的公差为d，由14799aaa，得4399a，即433a.由25893aaa，得5393a，即531a.所以2d，用心爱心专心4(4)241naandn.由0na，得20.5n，所以nS的最大值为20S，所以k＝20，故选C.7.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有()(2)fxfx成立，则(2010)f的值为（A）A.0B.1C.－1D.2【解析】由已知，(0)0f，从而(2)0f.又(2)[2(2)]()()fxfxfxfx，则(4)(2)()fxfxfx，所以()fx是周期为4的周期函数，于是(2010)(2)0ff，故选A.8.设()fx与()gx是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|()()|1fxgx成立，则称()fx和()gx在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.若2()34fxxx与()23gxx在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（D）A.[1，4]B.[2，4]C.[3，4]D.[2，3]【解析】因为22|()()||57|57fxgxxxxx.由2571xx，得2560xx，解得23x，故选D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.不等式lg(1)0x的解集是(－1，0]．【解析】由lg(1)0x，得01110xx.10.计算：2tan123(4cos122)sin12－4.【解析】原式sin123cos122sin(1260)412sin12cos12cos24sin482.11.已知点A(1，2)，直线113:24xtlyt(t为参数)与直线2:245lxy相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|＝52.【解析】将13,24xtyt代入245xy，得12t，所以|AB|＝5t＝52.12.如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝32.DACBE用心爱心专心【解析】设BCx，由割线定理，得CA×CD＝CB×CE，即4(4)(10)xxx.解得2x，因为AC是小圆的直径，则2223ABACBC.13.随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如下图所示.已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为78人.【解析】由直方图知，视力在4.3～4.4的频数为0.1×0.1×100＝1，视力在4.4～4.5的频数为0.3×0.1×100＝3.因为前四组的频数成等比数列，则视力在4.6～4.7的频数为1×33＝27.因为后6组的频数成等差数列，设公差为d，则65627872d，解得5d.故视力在4.6～5.0之间的学生人数为65427(5)782(人).14.若函数2()2lnfxxx在其定义域内的一个子区间(1,1)kk内不是单调函数，则实数k的取值范围是3[1,)2.【解析】因为()fx定义域为(0,)，又1()4fxxx，由()0fx，得12x.据题意，111210kkk，解得31.2k15.设a，b，λ都为正数，且a≠b，对于函数2(0)yxx=图象上两点2(,)Aaa，2(,)Bbb.（1）若ACCBuuuruur，则点C的坐标是22(,)11ababllll++++；（2）过点C作x轴的垂线，交函数2(0)yxx=的图象于D点，由点C在点D的上方可得不等式：222()11ababllll++++.【解析】（1）设点(,)Cxy，因为点2(,)Aaa，2(,)Bbb，ACCBuuuruur，则22(,)(,)xayabxby，所以22,11ababxyllll++==++.（2）因为点C在点D的上方，则CDyy，所以222()11ababllll++++.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)4.34.44.54.64.74.84.95.05.1.75.20.10.3视力频率/组距ABCDxyO用心爱心专心设角A，B，C为△ABC的三个内角.（Ⅰ）若22sinsin222ABC，求角A的大小；（Ⅱ）设()sin2sin2AfAA，求当A为何值时，f(A)取极大值，并求其极大值.【解析】（Ⅰ）由已知，22sinsin222AA，即22sincos222AA.（2分）所以22(1cos)cos222AA，即cos(2cos1)022AA.（4分）在△ABC中，因为0A，则022A，所以cos02A，从而2cos22A.（5分）而24C，即2C.（6分）（Ⅱ）因为2()coscos2coscos1(2cos1)(cos1)22222AAAAAfAA（8分）因为0A，则cos102A.由()0fA，得1cos22A，所以023A，即203A.所以当2(0,)3A时，()fA为增函数；当2(,)3A时，()fA为减函数.（10分）故当23A时，()fA取极大值，且极大值为233().32f（12分）17.(本小题满分12分)甲、乙两名射击运动员进行射击选拔比赛，已知甲、乙两运动员射击的环数稳定在6，7，8，9，10环，其射击比赛成绩的分布列如下：甲运动员：ξ678910P0.160.140.420.10.18乙运动员：η678910P0.190.240.120.280.17（Ⅰ）若甲、乙两运动员各射击一次，求同时击中9环以上（含9环）的概率；（Ⅱ）若从甲、乙两运动员中只能挑选一名参加某项国际比赛，你认为让谁参加比赛较合适？并说明理由.【解】（Ⅰ）记“甲运动员击中i环”为事件iA；“乙运动员击中i环”为事件iB；“甲、乙两运动员同时击中9环（含9环）”为事件C.（2分）因为910()()0.10.180.28PAPA，910()()0.280.170.45PBPB.（4分）所以126.045.028.0)(CP.故甲、乙两运动员同时击中9环以上（含9环）的概率为0.126.（6分）（Ⅱ）由分布列可知，818.0101.0942.0814.0716.06E.（7分）22222(68)0.16(78)0.14(88)0.42(98)0.1(108)0.181.6D（8分）用心爱心专心又817.01028.0912.0824.0719.06E.（9分）22222(68)0.19(78)0.24(88)0.12(98)0.28(108)0.171.96D（10分）因为EE，DD，所以甲、乙两运动员射击成绩的均值相等，但甲射击成绩的稳定性比乙要好，故选派甲参加比赛较合适.（12分）18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离.【解】（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.（2分）因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE.（5分）于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.（6分）（Ⅱ）方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.（8分）因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.因为AB＝2，所以BE＝2sin452o.（9分）在Rt△CBE中，226CEBCBE.（10分）所以222336BCBEBFCE.故点D到平面ACE的距离是233.（12分）方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB＝2，所以EG＝１.（8分）因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥EC.又AE＝BE＝2sin452o，226CEBCBE.（10分）设点D到平面ACE的距离为ｈ，因为ＶＤ－ACE＝VE－ACD，则1133ACEACDShSEG.所以122123213262ADDCEGhAEEC，故点D到平面ACE的距离是233.（12分）19.(本小题满分13分)如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.