东莞高级中学2011年10月高三调研考试数学试题（理科）

1东莞高级中学2011年10月高三调研考试数学试题（理科）2011.1028命题宋鹏辉审题黄云秀一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1.已知集合1,0,,01AaBxx，若AB，则实数a的取值范围是（）A．0,1B．0,1C．1D．1，2.在复平面内，复数21i对应的点与原点的距离是（）A.1B.2C.2D.223.若存在负实数使得方程112xax成立，则实数a的取值范围是（）A．),2(B.),0(C.)2,0(D.)1,0(4.设偶函数()fx在[0)，上为增函数，且(2)(4)0ff，那么下列四个命题中一定正确的是（）A．(3)(5)0ffB．(3)(5)ffC．函数在点(4(4))f，处的切线斜率10kD．函数在点(4(4))f，处的切线斜率20k5.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2＝()A．45B.35C.35D.456.在直角坐标系中，若不等式组0,2,(1)1yyxykx表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是()A．(,1)B．(1,2)C．(,1)(2,)D.(2,)7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，2ca，则()A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定8.已知定义域为R的函数)(xfy满足)4()(xfxf，当2x时，)(xf单调递增，若421xx,且0)2)(2(21xx，则)()(21xfxf的值()A．恒大于0B．恒小于0C．可能等于0D．可正可负二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.函数sin()fxAx，（其中,,A是常数，00A，）的部分图象如图所示，则0f=___________.2PoBADC10.已知0sincosxaxxdx，则二项式61axx展开式中含2x项的系数是______________.11.已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________.12.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216BC，ABACABAC，则AM______.13已知函数1()sin,[0,π]3fxxxx.01cos3x（0[0,π]x），那么下面命题中真命题的序号是.①()fx的最大值为0()fx②()fx的最小值为0()fx③()fx在0[0,]x上是减函数④()fx在0[,π]x上是减函数（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）14.点,Pxy在直线22:32xtlyt上运动，则直线l与抛物线22yx所围成的图形的面积是________15.如图，AB,CD是半径a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，aCP89，60AOP,则PD________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题共12分）已知4||axxA，3|2|xxB.（I）若1a，求BA；（II）若BAR，求实数a的取值范围.17.设ABC的内角CBA,,所对的边分别为,,,cba且bcCa21cos.（1）求角A的大小；（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围.18.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；3（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．19.（本小题满分12分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100xxk元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元.（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）当100k米时，试确定座位的个数，使得总造价最低。20.已知定义在区间]6,0[上的二次函数cbxaxxf2)(满足0)6()0(ff，且最大值为9.过动点))(,(tftP作x轴的垂线，垂足为A，连接OP（其中O为坐标原点）.（I）求()fx的解析式；（Ⅱ）记OAP的面积为S，求S的最大值.21.（本题满分18分）对于定义域为D的函数)(xfy，如果存在区间Dnm],[，同时满足：①)(xf在],[nm内是单调函数；②当定义域是],[nm时，)(xf的值域也是],[nm．则称],[nm是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数xxgy53)(不存在“和谐区间”．（2）已知：函数xaxaay221)(（0,aRa）有“和谐区间”],[nm，当a变化时，求出mn的最大值．（3）易知，函数xy是以任一区间],[nm为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的xy及形如axcbxy的函数为例）一选择1.A；2.C；3.C；4.D；5.B；6.C；7.A；8.B4二填空9.62；10.-192；11.3[,)4；12.2；13.①④；14.2724；15.a32三解答题16解：（I）当1a=时，{}35Axx=-.…………………2分{}15Bxxx或=-.………………………4分{}31ABxx\?--.………………………6分（II）{}44Axaxa=-+.………………………8分{}15Bxxx或=-.且ABR?\4145aaì--ïïíï+ïî……10分\13a.………11分\实数a的取值范围是()1,3.……12分17.解：（1）由bcCa21cos得1sincossinsin2ACCB…………2又sinsinsincoscossinBACACAC…………41sincossin2CAC，0sinC，21cosA，又0A3A…………6（2）由正弦定理得：BABabsin32sinsin,Ccsin32221sinsin1sinsin33labcBCBAB………83112sincos22BB6sin21B…………10,3A20,,3B65,66B1sin,162B故ABC的周长l的取值范围为2,3.…………13（2）另解：周长l1abcbc由（1）及余弦定理2222cosabcbcA5221bcbc…………822()1313()2bcbcbc2bc…………10又12bcalabc即ABC的周长l的取值范围为2,3.…………1318.（Ⅰ）解：的所有可能取值为0，1，2．依题意，得3436C1(0)C5P，214236CC3(1)C5P，124236CC1(2)C5P．∴的分布列为012P515351∴1310121555E．………………………………（7分）（Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则2536C1C2PA，1436C1C5PAB，∴25PABPBAPA．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25……………（13分）19.解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则kxn即knx，定义域|0,Z4kkxxx；………5分（Ⅱ）当100k时，250x令22000100(51220)yxx22000()512fxxx，则322200020001024()10240xfxxxx∴31000512x，∴54x…………10分当5(0,)4x时，()0fx，即()fx在5(0,)4x上单调减，当5(,25)4x时，()0fx，即()fx在5(,25)4x上单调增，miny在54x时取到，此时座位个数为1008054个．………12分620.解：（I）由已知可得函数()fx的对称轴为3x，顶点为)9,3(..2分方法一：由944320)0(2abacabf得0,6,1cba5分得2()6,[0,6]fxxxx....6分方法二：设9)3()(2xaxf......4分由0)0(f，得1a.....5分2()6,[0,6]fxxxx.......6分（II）)6,0(),6(2121)(2ttttAPOAtS.......8分)4(23236)('2tttttS......9分列表.....11分由上表可得4t时，三角形面积取得最大值.即2max1()(4)4(644)162StS....13分21.（18分）（1）设],[nm是已知函数定义域的子集．0x，)0,(],[nm或),0(],[nm，故函数xy53在],[nm上单调递增．若],[nm是已知函数的“和谐区间”，则nngmmg)()(……………4分故m、n是方程xx53的同号的相异实数根．0532xx无实数根，函数xy53不存在“和谐区间”．………………6分（2）设],[nm是已知函数定义域的子集．0x，)0,(],[nm或),0(],[nm，故t(0,4)4(4,6)'()St＋0－()St极大值7函数xaaaxaxaay222111)(在],[nm上单调递增．若],[nm是已知函数的“和谐区间”，则nnfmmf)()(……………10分[来源:学科网ZXXK]故m、n是方程xxaaa211，即01)(22xaaxa的同号的相异实数根．012amn，m，n同号，只须0)1)(3(2aaa，即1a或3a时，已知函数有“和谐区间”],[nm，34)311(34)(22amnmnmn，当3a时，mn取最大值332………………14分（3）如：2xy和谐区间为]2,0[、]3,1[，当2ba的区间],[ba；xy2sin和谐区间为]1,0[；21xy和谐区间为]0,1[；………………………………………………18分