浙江省杭州市夏衍中学高三期中考试试卷理科参考作案及评分标准

高三《数学》（理）参考答案及评分标准第-1-页共4页杭州市夏衍中学2009学年第一学期期中考试·高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．题号12345678910答案CBAADDBCBB二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．2；12．5a；13．(1,0)；14．2；15．32；16．352；17．n2。三、解答题：本大题共5小题，共72分。18．解：（1）解法一、由0)1(1221nnnnaanaan得，0))(1(121naaaannnnn………………2分0na，∴11nnaann………………2分则112211aaannnnnaaaaa=n1)a21()1-n2-n()n1-n(1………………4分解法二、由0)1(1221nnnnaanaan得，0)(])1[(11nnnnaanaan………………2分0na，∴nnnaan1)1(………………2分则11)1(11aannann∴nan1………………4分（2）由（1）知，111)1(11nnnnnan………………3分1)111()3121()211(13221nnnnnaaaSnn………3分高三《数学》（理）参考答案及评分标准第-2-页共4页19．解：（1）xbxabxbxaxf2cos2sin)2cos1(2sin)()(xf的最大值为22ba…………………2分依题意：3)0(bf，且222ab………………2分0a，1axxxf2cos32sin)()62cos(2x………………………2分2k≤62x≤2k(Zk))(xfy的递增区间是[127k，12k]（zk）………………3分（2）把函数)12(2cos2)(xxf的图象向右平移12个单位，得xy2cos2的图象关于y轴对称，所以正数minm12………………3分平移后的图象对应的函数解析式为：xy2cos2…………………3分20．设每千米支线管道的管道的建设费为1个单位，若设MBx，则A市到C市的管道建设总费用为2250210(050)yxxx.………………5分[解法1]（导数法：核心方法）220,103/3210,103/3100,0103/3xxyxxx………6分则当1033xBM千米时，总费用最省.………3分[解法2]（判别式法：初等方法）设22100txx（估计0txx）则22()4(100)xtx，即2232(400)0xtxt由216(300)0t，得103t.………6分则当103t时，0，此时/3103/3xt千米时，总费用最省.………3分高三《数学》（理）参考答案及评分标准第-3-页共4页21.（1）[解法1]22112sincos5sincos1，消去cos得244965sinsin0525，……………2分，即24(5sin4)(sin)025，4sin53cos5，或24sin257cos25得4tan3或247.…………………5分[解法2]将已知方程两边平方，得221214sin4cossincos25，即22221214sin4cossincos(sincos)25，.…………………2分即2221sin100cossin96cos02cos021tan100tan960(3tan4)(7tan24)0.得4tan3或247.…………………5分（2）[解法1]以O为原点，建立平面直角坐标系，设(,0),(0,)BaAb，由,PQ是斜边AB的两个三等分点,则3PAAB，所以22(,),(,)3333ababPQ,…………………3分则由2222sincos1OPOQ得222253()1595abABab为定值…………………6分[解法2]222222111sincos()()33OPOQOAABOBAB2222222225()(1)93939OAOBABABOAOBABAB所以，355AB为为定值.…………………6分(3)[解法1]作OCAB于C，则OPQ的面积为22111132666220abSPQOCABOCab（当ab时取等号）……4分高三《数学》（理）参考答案及评分标准第-4-页共4页[解法2]221sincos45cos2sincos5sin2OPQ，所以OPQ的面积为1sin2SOPOQOPQ2211163sin21cossin2442520OPQ（当4时取等号）…4分22．解：（1）33(1)(31)()32332xxfxxxx,令()0fx得13x或1x（舍去）当103x时，()0fx，()fx单调递增；当113x时，()0fx，()fx单调递减。11()ln336f为函数()fx在区间[0,1]上的极大值…………………5分（2）由lnln[()3]0axfxx，得3lnln023axx，(*)∵11[,]63x，∴36ln[0,ln]235x，只有当13x时，3ln023x，此时取1ln3a，则lnln[()3]0axfxx，其他情况下不等式(*)都成立.故a的取值范围是11(,ln)(ln,)33…………………5分（3）原命题等价于()2()bfxxgx在区间[0,1]上恰有两个不同的实根∵237973()23(73)233232xxgxxxxxx∴当703x时，()0gx，()gx单调递增；当713x时，()0gx，()gx单调递减，1(0)ln2(1)ln52gg，7727()ln(27)363g结合图象可知，1727ln5ln(27)263b…………………5分