湖南省衡阳市八中2011届高三第五次月考数学试题（理）

第1页共10页衡阳市八中2011届高三第五次月考试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集0,1,2,3,4,0,1,2,2,3UUMNCMN,则A.2B.3C.2,3,4D.0,1,2,3,42.公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为A．1B．2C．3D．43.在以下关于向量的命题中，不正确的是A．若向量(,)axy=r，向量(,)(,0)byxxy=-?r，则ab^rrB．在ABCD中，ABuuur和CAuur的夹角等于角AC．四边形ABCD是菱形的充要条件是ABDC=uuuruuur，且||||ABAD=uuuruuurD．点G是ABCD的重心，则0GAGBGC++=uuuruuuruuurr4.在极坐标系中，已知圆2cosrq=与直线4cos3sin0arqrq++=相切，则a=A．2B．-9C．2或-8D．1或-95.函数)3sin(sinxxy具有性质A．图象关于点（3，0）对称，最大值为1B．图象关于点（6，0）对称，最大值为2C．图象关于点（3，0）对称，最大值为2D．图象关于直线x=3对称，最大值为16.已知点P（x，y）在不等式组0220102yxyx表示的平面区域内运动，则11xyz的取值范围是第2页共10页A．]2,31[B．),2[]31,(C．),2()31,(D．)2,31[7.函数xeyx的图象大致是A．B．C．D．8．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为)1800(00，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是A．328B．332C．34D．与的值有关的数二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9.求和：1111447(32)(31)nn.10.如右图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，则DACÐ=____________.11.参数方程12xtyt?--ïïíï=+ïî（t为参数）与2cossinxyqqì=ïïíï=ïî（q为参数）所表示的曲线的公共点个数是__________.12.如右图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.13.曲线xyln的过原点的切线方程是_____________.14.已知点F1、F2分别是双曲线22ax－22by=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是___________.BOCAD第3页共10页15.设定义域为R的函数32)(2xxxf，若关于x的方程0)()(2cxbfxf有且只有5个不同的实数根54321,,,,xxxxx，54321xxxxx则=_____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知3a且2sinbB.（1）求A的大小；（2）求Babcbacos2222的取值范围.17.（本小题满分12分）已知点M是抛物线上2yx=上的一个动点，弦,MAMB分别交x轴于、CD两点，若MCMD=且090AMB?，求AMBD的重心G的轨迹方程.18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCDABCD的底面是矩形，ABCDCD平面1，1AB，21CDBC，E为CA1的中点.（1）求证：直线CC1∥平面BDE；（2）求二面角CBDE的正切值.BCDAD1C1B1A1E第4页共10页19．（本小题满分13分）某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(参考数据：789101.254.77,1.255.96,1.257.45,1.259.31====)20.（本小题满分13分）已知21,FF分别是椭圆)0(12222babyax的左右焦点，已知点2(,0)aNc，满足且121122||2FFNFFF==uuuuruuuruuuur，设A、B是上半椭圆上满足NBNA的两点，其中]31,51[.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围.21.（本小题满分13分）已知函数txexfx2)(2，2122)(22ttexxgx.（1）求)(xf在区间),0[的最小值；（2）求证：若1t，则不等式)(xg≥21对于任意的),0[x恒成立；第5页共10页（3）求证：若Rt，则不等式)(xf≥)(xg对于任意的Rx恒成立.衡阳市八中2011届高三第五次月考数学（理科）参考答案一、选择题：1.B2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C.二、填空题：9．31nn10．30011．212．45013.xey114.（1，21）15.5.三、解答题：16.解:(1)由正弦定理知2sinsinabAB,又3a,∴23sinA,又ABC为锐角三角形,故3A…………………………………………4分(2)BBBCBabcbacos2)3cos(2cos2cos2cos2222BBBBBcos2sin3coscos2)32cos(2)6sin(2sin3cosBBB……………………………..8分由于ABC为锐角三角形,故有23020BB,∴26B,∴3263B,∴1)6sin(23B,∴2)6sin(23B,∴Babcbacos2222的取值范围是]2,3(………………………………………12分17．解：设M（y20,y0），90,45,1,AMBMCDk?\?\=ooQ200().MAyykxy\-=-直线的方程为第6页共10页2002002,((1),1).yyxyyyyxì-=-ïïï--íï=ïïî由得A同理可得200((1),(1)).Byy+-+设重心G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MABMABxxxyyyyxyyyyyyyyì+++-+++ïï===ïïïíï+++--+ï===-ïïïî).32(2729120xxyy得消去参数19.(1)证法一:连结AC,与BD交于点F,连结EF,在矩形ABCD中,F为AC的中点,又E为CA1的中点,∴AA1∥EF,又在平行六面体1111ABCDABCD中,CC1∥AA1,∴CC1∥EF,又BDEEF平面,BDECC平面1,∴直线CC1∥平面BDE.………………………………………………………………4分证法二:连结1BD,∵在平行六面体1111ABCDABCD中,11DA与BC平行且相等,∴四边形11BCDA是平行四边形,则CA1与1BD互相平分,∴1BD经过CA1的中点E,∴平面BDE即平面1BDD,又在平行六面体1111ABCDABCD中,DD1∥CC1,且11BDDDD平面,11BDDCC平面,∴直线CC1∥平面1BDD,即直线CC1∥平面BDE.………………………………...4分BCDAD1C1B1A1EF第7页共10页(2)解法一:连结BA1,1BD,∵在平行六面体1111ABCDABCD中,11DA与BC平行且相等,∴四边形11BCDA是平行四边形,则CA1与1BD互相平分,∴CA1的中点E也是1BD的中点.取BC的中点F,连结EF,则EF∥CD1,且1211CDEF,又ABCDCD平面1，∴ABCDEF平面，过点F作FG垂直BD于点G,连结EG.根据三垂线定理有BDEG，故EGF是二面角CBDE的平面角………8分在BCDRt中,51211sin22BCCDDBC，∴在FGBRt中，51sinDBCFBFG，∴在EFGRt中，5511tanFGEFEGF.……………..12分解法二:∵平行六面体1111ABCDABCD的底面是矩形，且ABCDCD平面1，∴1,,CDCDCB两两垂直.建立如图所示的直角坐标系.∵1AB，21CDBC，∴)2,0,0(),0,1,0(),0,0,2(1DDB,又由已知可得)2,0,2(1A,∵E为CA1的中点，∴)1,0,1(E,∴)1,0,1(EB，)0,1,2(BD，……………………………………………………………………8分令平面BDE的法向量),,(zyxm，则有002010zyxzyx，yzxBCDAD1C1B1A1E第8页共10页∴可取)1,2,1(m，又由ABCDCD平面1知平面BCD的法向量可取)1,0,0(n，令nm与的夹角为，则661121110201cos222nmnm，∴二面角CBDE的正切值为5……………………………………12分19．解：由题，an=an-1（1+25%）-100（n≥2），即an=45an-1-100，设an+λ=45（an-1+λ），展开得an=45an-1+41λ，41λ=-100，λ=-400，∴an-400=45（an-1-400），即{an-400}成一个等比数列，a1=1000,∴an-400=600（45）n-1，an=600（45）n-1+400，令an≥4000，得（45）n-1≥6，解得n≥10.答：至少要过9年后才能达到目标。20.解:(1)由于2||,221121FFNFFF,∴22222)(222cbacccac,解得1222ba,∴椭圆的方程是1222yx………………………………………………………………3分(2)∵NBNA,∴NBA,,三点共线,而)0,2(N,设直线的方程为)0(),2(kxky,由12)2(22yxxky消去x得:02412222ykykk由0128)4(222kkk,解得220k………………………………………..6分第9页共10页设),(),,(2211yxByxA,由韦达定理得122,1242221221kkyykkyy①,又由NBNA得:),2(),2(2211yxyx,∴21yy②.将②式代入①式得:122124)1(222222kkykky,消去2y得:128)1(22k………………………………………………………..10分设21)1()(2,当]31,51[时,)(是减函数,∴536)(316,∴5361283162k,解得411812k,又由220k得2162k,∴直线AB的斜率的取值范围是]21,62[……………………………………………13分21.(1)解:)(222)(22tetexfxx①若1t∵0x，则12xe，∴02tex，即0)(xf.∴)(xf在区间),0[是增函数，故)(xf在区间),0[的最小值是1)0(f……2分②若1t令0)(xf，得txln21.又当)ln21,0[tx时，0)(xf；当),ln21(tx时，0)(xf，∴)(xf在区间),0[的最小值是t