清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)

清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第1页共6页清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案ADBCBCDA二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．20；10.8cm；11.3R；12144；13.30或150；14.2三、解答题：(本大题共4小题，共36分)15(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人都做错的概率是14，(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率;(2)求独立做对这道题的人数的概率分布与数学期望.解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C，21)(AP依题得：31)(41)(41)(31)(41)(241)(CPBPCPBPCBAPCBAP或甲、乙、丙三人中恰好有一人做对这道题的概率为:2411413221433121433221)()()(CBAPCBAPCBAP的可能取值为：0，1，2，3：41)0(P;2411)1(P;41412411411)2(P;241)3(P;的概率分布0123P412411412411213241341224111410E清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第2页共6页ABCDABCDEFG16.(本题满分8分)如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长为a，点M在边BC上，1AMC是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：11ABACM平面;(2)求点C到平面1MAC的距离.解：(1)∵△1AMC为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴MCAM1且MCAM1．∵正三棱柱111CBAABC，∴1CC底面ABC．∴MC1在底面内的射影为CM，AM⊥CM．∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点．连结1AC交1AC于点O，在正三棱柱111CBAABC中，四边形11AACC为平行四边形，因此点O是1AC的中点，∴1//OEAB，1OEACM平面，11ABACM平面，∴11ABACM平面(2)知AM⊥MC1且AM⊥CM，，∴AM⊥平面CMC1,过点C作CH⊥1MC于H，∵CH在平面CMC1内，∴CH⊥AM，又MAMMC1，有CH⊥平面AMC1，即CH为点C到平面AMC1的距离aCMAM23，aCM21且BCCC1．∴点C到平面1AMC的距离为底面边长为a66．17．(本题满分10分)已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．(1)求证：DA⊥平面ABC；(2)求二面角G-FC-E的大小.方法1：(1)证明：依条件可知DA⊥AB.∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，DC是DA在平面BCD上的射影，又依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥DA.∵AB∩BC=B，∴由得DA⊥平面ABC.(2)解：由(1)结论可知DA⊥平面ABC，∵AC、CG平面ABC，∴DA⊥AC，DA⊥CG．由DA⊥平面ABC得△ADC为直角三角形，易求出AC=1．于是△ABC中AC=BC=1．∵G是等腰△ABC底边AB的中点，∴CG⊥AB.∵AB∩DA=A，∴CG⊥平面ABD．aaaCC224143221aaaaMCCMCCCH6623212211清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第3页共6页ABCDEFGxyz∵CG平面FGC，∴平面ABD⊥平面FGC．在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H，∴EH⊥平面FGC.作HK⊥FC，垂足为K，连结EK，故EK⊥FC.∴∠EKH为二面角E-FC-G的平面角.设Rt△ABD边BD上的高为h，容易求出h=63.∴EH=66.在△EFC中，容易求出FE=22，EC=32，FC=52.∴FC2=FE2+EC2，∴∠FEC=90°于是在Rt△FEC中容易求出EK=3010∴sin∠EKH=EHEK=53.于是二面角E-FC-G的大小为arcsin53.方法2：(1)证明：同方法一(2)∵点A在平面BCD上的射影落在DC上∴,ADCBDC平面平面如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，-2，0)，由(1)得△ADC为直角三角形，易求出AC=1，因此A(0，-22，22)E(21，-22，0)，F(0，-324，24)，G(21，-24，24).∵EC=(-21，22，0)，EF=(-21，-24，24)，设平面FEC的一个法向量为),,(1zyxn由1100ECnEFn取1y得1(2,1,3)n.又GC=(-21，24，-24)，GF=(-21，-22，0)，同理可求出平面FGC的一个法向量为2(2,1,3)n∴122192cos,,31212nn∴于是二面角E-FC-G的大小为arccos32.18.(本题满分10分)如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝3AD，设点E是棱PB上的动点(不含端点)，过点A，D，E的平面交棱PC于F.(1)求证：BC//EF;(2)试确定点E的位置，使PC⊥平面ADFE，并说明理由.清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第4页共6页FEDCBAP解：(Ⅰ)∵BC//AD，∴BC//平面ADFE又∵平面ADFE∩平面PBC＝EF∴BC//FE(2)假设棱PB上存在点E，在正方形ABCD中DCAD，∵PD⊥平面ABCD∴PDAD，又∵PDDCD，∴,ADPDC平面∴PC⊥AD，要使PC⊥平面ADFE，只要PC⊥DF即可，不妨设AD＝1，则PD＝3CD＝1，PC＝2，21,2DCCFPC∴13CFFP∵BC//EF，∴当13BEEP时，PC⊥平面ADFE附加题：(满分50分)一、选择题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)1.72.83.943R4.22二、解答题(本大题共3个小题，每小题10分，共30分)1．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)11:EBDBCD证明平面平面;(2)设H为截面1DEB内一点，求H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和的最小值.解法一：(1)取1BC的中点F，1BD的中点G，连结,,BFEGGF．CD平面11,BCCBDCBF．又11,,BFBCDCBCCBF平面1BCD．11//,//,//22GFCDBECDBEGF，四边形BFGE是平行四边形，//.BFGEEG平面1BCD．又EG平面1EBD，平面1EBD平面1BCD．(2)点H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的垂线所确定的与正方体的表面平行的平面与正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD围成一个长方体，H到正方体表面11BCCB、DABCA11D1B1C1E清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第5页共6页B'HPDCBAC1B1A1ECBADCC1D1、ABCD的距离之平方和等于2CH，当1CHDEB平面时，CH取最小值；∵11111,DEBDCBDEBDCBDB平面平面且平面平面∴作1,CHDB则1,CHDEB平面∵123,DCaBCaDBa∴22211,DCCBDB∴1,DCCB1122,33DCCBaaaCHDBa222,3CHa∴H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和的最小值为22.3a2．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，3DCBC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.解：延长CB交DA于B／，连接PB／，设BC=a，∵AB=21DC，∴BB／=BP=a，取B／P的中点H，连接AH，BH，则BH⊥B／P，由三垂线定理知，AH⊥B／P，∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.在Rt△AHB中，AB=,3,23sin,,23AHBAHBaAHa∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为3.3．如图，斜三棱柱ABC—111ABC，已知侧面11BBCC与底面ABC垂直，090BCA，01BBC=60，1BC=BB2，若二面角1A-BBC为030．(1)求直线1AB与平面11BBCC所成角的正切值；(2)在平面11AABB内找一点P，使三棱锥1P-BBC为正三棱锥，并求点P到平面1BBC的距离。清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)第6页共6页解：(1)∵面CCBB11⊥面ABC,交线为BC，AC⊥BC，∴AC⊥面CCBB11连CB1，∴∠ACB1就是1AB与平面CCBB11所成的角，取1BB中点E，连CE，AE，在△1CBB中，1BB=BC=2，0160BBC，∴△1CBB是正三角形，∴CE⊥1,BB又AC⊥平面11BBCC，∴AE⊥1BB，∴∠CEA为二面角A-1BB-C的平面角，030,CEA在Rt△CEA中，130tanCEAC∴在Rt△AB1C中，21tan11CBACCAB(2)在CE上取点1P，使1120CPPE，则1PP为△1BBC的重心即中心,作1PP∥AC交AE于P,∵AC⊥平面CCBB11，∴PP1⊥面CCBB11，即P在平面B1C1C上的射影是△BCB1中心,∴P-1BBC为正三棱锥，且311ACPP，311PP,即P到平面1BBC的距离为31.