2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.4 Word版含解析

第一章1.4A级基础巩固一、选择题1．(2017·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是导学号84624275(C)A．8B．203C．－1D．－8[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则高为导学号84624276(D)A．33cmB．1033cmC．1633cmD．2033cm[解析]设圆锥的高为xcm，则底面半径为202－x2(cm)，其体积为V＝13πx(202－x2)(0x20)，V′＝13π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝2033，x2＝－2033(舍去)．当0x2033时，V′0，当2033x20时，V′0，∴当x＝2033时，V取最大值．3．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是导学号84624277(D)A．332cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2[解析]设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32x2－23x＋43.令S′＝3x－23＝0则x＝2，所以Smin＝23.4．(2017·泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t(秒)的函数关系是α＝2π0.64t2(t≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为导学号84624278(B)A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒[解析]α′＝4πt0.64，∴车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：4π0.64×1.6＝10π.故选B．5．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为导学号84624279(A)A．(l6)3πB．(l3)3πC．(l4)3πD．14(l4)3π[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr3(0rl4)，V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r0，∴r＝l6是其唯一的极值点．∴当r＝l6时，V取得最大值，最大值为(l6)3π.6．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3︰4，那么容器容积最大时，高为导学号84624280(A)A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为6－12x－16x4＝32－7x(m)，容积V＝3x·4x·32－7x＝18x2－84x30x314，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝17或x＝0(舍去)．x∈0，17时，V′0，x∈17，314时，V′0，所以在x＝17处，V有最大值，此时高为0.5m.二、填空题7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__25__件.导学号84624281[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为__1︰1__.导学号84624282[解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝π2x2＋2hx，h＝S2x－π4x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx，∴L′＝π2＋2－Sx2.由L′＝0，得x＝2Sπ＋4，x∈0，2Sπ＋4时，L′0，x∈2Sπ＋4，＋∞时，L′0，∴当x＝2Sπ＋4时，L取最小值，此时hx＝2S－πx24x2＝2S4x2－π4＝π＋44－π4＝1.三、解答题9．(2016·成都高二检测)成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋10150x－blnx10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6).导学号84624283(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由条件可得a×102＋10150×10－bln1＝19.2，a×302＋10150×30－bln3＝50.5，解得a＝－1100，b＝1，则f(x)＝－x2100＋10150x－lnx10(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－x2100＋5150x－lnx10(x≥10)，则T′(x)＝－x50＋5150－1x＝－x－1x－5050x，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－502100＋5150×50－ln5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．10．如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？导学号84624284[解析]设MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4102＋x2，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x100＋x2，令p′(x)＝0，解得x1＝103，x2＝－103(舍去)．当0≤x103时，p′(x)0；当103x≤50时，p′(x)0，所以当x＝103时，取得最小值．即在离B点距离为1033的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省．B级素养提升一、选择题1．(2016·长沙高二检测)若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为导学号84624285(A)A．2πR2B．πR2C．4πR2D．12πR22．(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为导学号84624286(C)A．3Sπ＋4B．Sπ＋4C．2Sπ＋4D．2Sπ＋4[解析]设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝πx22＋2hx，∴2h＝Sx－π2x.则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝πx2＋2x＋Sx.令l′＝π2＋2－8x2＝0，解S＝2Sπ＋4或－2Sπ＋4(舍)因为函数只有一个极值点，所以x＝2Sπ＋4为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为2Sπ＋4，故C．二、填空题3．(2016·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__.导学号84624287[解析]用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)y′＝0.096x－3kx2＝3kx(0.032－x)令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)当0x0.032，∴y′0，当0.032x0.048，y′0，∴当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．4．(2016·东营高二检测)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__160__(单位：元).导学号84624288三、解答题5．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2x6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.导学号84624289(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析](1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝10x－2＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)[10x－2＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2x6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2x6)．令f′(x)＝0，得x＝103，且在(0，103)上，f′(x)0，函数f(x)单调递增；在(103，6)上，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以x＝103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．6．甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v.导学号84624290(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析](1)汽车从甲地到乙地需用400vh，故全程运输成本为Q＝400Pv＝v348－5v22＋6000(0v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0得，v＝80，∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元．C级能力拔高现要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝5150x－ax2－lnx10，x2x－12∈[t，＋∞)，其中t为大于12的常数．当x＝10时，y＝9.2.导学号84624291(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．[解析](1)∵当x＝10时，y＝9.2，即5150×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝1100.∴f(x)＝5150x－x2100－lnx10.∵x2x－12≥t，且t12，∴6x≤12t2t－1，即投入x的取值范围是(6，12t2t－1]．(2)对f(x)求导，得f′(x)＝5150－x50－1x＝－x2－51x＋5050x＝－x－1x－5050x.令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．当x∈(6,50)时，f′(x)0，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，f′(x)0，因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．∴x＝50为极大值点．当12t2t－1≥50，即t∈(12，2544]时，投入50万元改造时取得最大增加值；