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第一章1.11.1.3A级基础巩固一、选择题1.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f′(1)的值是导学号84624072(D)A.12B.1C.32D.2[解析]∵(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.又∵f′(1)=12,∴f(1)+2f′(1)=1+2×12=2.故选D.2.曲线y=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1,则切线方程为导学号84624073(D)A.y=4xB.y=4x-4C.y=4x-8D.y=4x或y=4x-4[解析]y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[x+Δx3+x+Δx-2]-x3+x-2Δx=limΔx→0[(Δx)2+3xΔx+3x2+1]=3x2+1.由条件知,3x2+1=4,∴x=±1,当x=1时,切点为(1,0),切线方程为y=4(x-1),即y=4x-4.当x=-1时,切点为(-1,-4),切线方程为y+4=4(x+1),即y=4x.3.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率等于导学号84624074(D)A.0B.2C.4D.6[解析]Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+(Δx)3,limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[(Δx)2+6Δx+6]=6,故选D.4.(2016·济宁高二检测)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于导学号84624075(A)A.1B.12C.-12D.-1[解析]∵y′|x=1=limΔx→0a1+Δx2-a×12Δx=limΔx→02aΔx+aΔx2Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.5.(2017·汉中高二检测)曲线y=13x3-2在点1,-53处切线的倾斜角为导学号84624076(B)A.1B.π4C.5π4D.-π4[解析]∵y′=limΔx→0[13x+Δx3-2]-13x3-2Δx=limΔx→0[x2+xΔx+13(Δx)2]=x2,∴切线的斜率k=y′|x=1=1.∴切线的倾斜角为π4,故应选B.6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线导学号84624077(B)A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交[解析]由导数的几何意义知B正确,故应选B.二、填空题7.已知f(x)=x2+3xf′(2),则f′(2)=__-2__.导学号84624078[解析]由导函数的定义可得f′(x)=2x+3f′(2),∴f′(2)=4+3f′(2),∴f′(2)=-2.8.曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__54__.导学号84624079[解析]因为f′(3)=limΔx→03+Δx3-33Δx=27,所以在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即y=27x-54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54).所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12×2×54=54.三、解答题9.求曲线y=1x-x上一点P4,-74处的切线方程.导学号84624080[解析]∵y′=limΔx→01x+Δx-1x-x+Δx-xΔx=limΔx→0-Δxxx+Δx-Δxx+Δx+xΔx=limΔx→0-1xx+Δx-1x+Δx+x=-1x2-12x.∴y′|x=4=-116-14=-516,∴曲线在点P4,-74处的切线方程为:y+74=-516(x-4).即5x+16y+8=0.10.已知曲线y=f(x)=x+1x上一点A(2,52),用导数定义求函数y=f(x):导学号84624081(1)在点A处的切线的斜率;(2)在点A处的切线方程.[解析](1)∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=2+Δx+12+Δx-(2+12)=-Δx22+Δx+Δx,ΔyΔx=-Δx22+Δx+ΔxΔx=-122+Δx+1,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[-122+Δx+1]=34,故点A处的切线的斜率为34.(2)切线方程为y-52=34(x-2),即3x-4y+4=0.B级素养提升一、选择题1.(2016·开封高二检测)已知y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是导学号84624082(B)A.f′(xA)f′(xB)B.f′(xA)f′(xB)C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定[解析]由图可知,曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f′(xA)f′(xB),选B.2.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P横坐标的取值范围为导学号84624083(A)A.[-1,-12]B.[-1,0]C.[0,1]D.[12,1][解析]考查导数的几何意义.由导数的定义可得y′=2x+2,且切线倾斜角θ∈[0,π4],∴切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,∴-1≤x≤-12.二、填空题3.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则limΔx→0f1+Δx-f1Δx=__-2__.导学号84624084[解析]由导数的概念和几何意义知,limΔx→0f1+Δx-f1Δx=f′(1)=kAB=0-42-0=-2.4.过点(2,0)且与曲线y=1x相切的直线方程为__x+y-2=0__.导学号84624085[解析]易知(2,0)不在曲线y=1x上,令切点为(x0,y0),则有y0=1x0.①又y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01x+Δx-1xΔx=-1x2,所以y′|x=x0=-1x20,即切线方程为y=-1x20(x-2),而y0x0-2=-1x20②由①②可得x0=1,故切线方程为y+x-2=0.三、解答题5.(2016·天津联考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.导学号84624086[解析]∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x30+ax20-9x0-1)=(3x20+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,∴ΔyΔx=3x20+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,ΔyΔx无限趋近于3x20+2ax0-9.即f′(x0)=3x20+2ax0-9,∴f′(x0)=3(x0+a3)2-9-a23.当x0=-a3时,f′(x0)取最小值-9-a23.∵斜率最小的切线与12x+y=6平行,∴该切线斜率为-12.∴-9-a23=-12.解得a=±3.又a0,∴a=-3.6.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.导学号84624087[解析]设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),∵f′(x)=limΔx→0fx+Δx-fxΔx=limΔx→0x+Δx3-2x+Δx2+3-x3-2x2+3Δx=3x2-4x,∴k=f′(x0)=3x20-4x0.由题意可知k=4,即3x20-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,∴切点的坐标为(-23,4927)或(2,3).当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5.∴当a=12127时,切点坐标为(-23,4927);当a=-5时,切点坐标为(2,3).C级能力拔高已知曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ,求cosθ.导学号84624088[解析]由y=x2+1,y=x3+x,得x3-x2+x-1=0,即(x-1)(x2+1)=0,解得x=1,所以交点P(1,2).因为f′(1)=limΔx→01+Δx2+1-2Δx=2,所以其切线l1的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.因为g′(1)=limΔx→01+Δx3+1+Δx-1+1Δx=4,所以其切线l2的方程为y-2=4(x-1),即y=4x-2.取切线l1的方向向量为a=(1,2),切线l2的方向向量为b=(1,4),则cosθ=a·b|a||b|=95×17=985=98585.
本文标题:2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习:第1章 导数及其应用1.1.3 Word版含解
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