20172018学年高中数学人教A版选修22：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限解析：选Dz1z2＝2＋i1＋i＝32－i2，对应点32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为()A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为an＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：选C由演绎推理的概念可知C正确．3．函数y＝(sinx2)3的导数是()A．y′＝3xsinx2·sin2x2B．y′＝3(sinx2)2C．y′＝3(sinx2)2cosx2D．y′＝6sinx2cosx2解析：选Ay′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故选A.4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．eC.ln22D．ln2解析：选B由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B．202C．212D．222解析：选C归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+32bx+c3的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B.12，＋∞C．[－2,3]D.98，＋∞解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94.当x＞98时，y′＞0，∴y＝x2－94x－6的单调递增区间为98，＋∞.故选D.9．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()解析：选C根据题意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1)B．f(－1)f(1)C．f(－1)f(1)D．不确定解析：选B因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)f(1).11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋3x，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝(x＋3)(x－1)x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)ex－f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为______．解析：z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：514．(天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，则y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变化关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y极大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：302300016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2016个梯形数为a2016，则a2016＝________.解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝(n＋1)(2＋n＋2)2＝12×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2016＝2＋3＋4＋…＋2018＝12×2017×2020＝2017×1010.答案：2017×1010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.证明：已知a＞b＞c，因为a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4，所以a－ca－b＋a－cb－c≥4，即1a－b＋1b－c≥4a－c.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m＞0，所以1＋m＞1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－m)1－m(1－m，1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a0，则当x∈0，1a时，f′(x)0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a2a－2等价于lna＋a－10.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an＞0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)a1＝S1＝a12＋1a1－1，所以a1＝－1±3.又因为an＞0，所以a1＝3－1.S2＝a1＋a2＝a22＋1a2－1，所以a2＝5－3.S3＝a1＋a2＋a3＝a32＋1a3－1，所以a3＝7－5.(2)由(1)猜想an＝2n＋1－2n－1，n∈N*.下面用数学归纳法加以证明：①当n＝1时，由(1)知a1＝3－1成立．②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝2k＋1－2k－1成立．当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－1－ak2＋1ak－1＝ak＋12＋1ak＋1－2k＋1，所以a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，所以ak＋1＝2(k＋1)＋1－2(k＋1)－1，即当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)证明对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|4恒成立．解：(1)由奇函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0.故a＋c＝－2，3a＋c＝0，解得a＝1，c＝－3.因此f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，f′(－1)＝f′(1)＝0.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)0，故f(x)在区间(－1,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2.∴对任意的x1，x2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)|M－m＝2