江西省宜春市2016届高三上期末数学试卷(文)含答案解析

第1页（共18页）2015-2016学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．若1+（a﹣2）i是实数，则等于（）A．1﹣2iB．1+2iC．﹣1+2iD．2+i3．已知=（2x，﹣1），=（﹣4，2），若，则x的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a5=0，且a9=20．则S11=（）A．260B．220C．130D．1105．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率为（）A．B．C．D．6．下列四个命题中，正确的有（）（注：∃表示存在，∀表示任意）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p：“∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0”；③在△ABC中，“A＞60°”是“cosA＜”的充要条件．④若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则c＜a＜b．A．①③④B．①④C．③④D．②③7．设函数f（x）=，若f（x）＞1成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）8．如图，定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为（）第2页（共18页）A．11B．13C．8D．49．已知函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f（x）=3sin（ωx﹣）的单调增区间是（）A．[k，k]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2k]（k∈Z）C．[kπ+，k]（k∈Z）D．[2k，2k]（k∈Z）10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．611．已知抛物线y2=4x与椭圆x2+=1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]．已知向量=+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”，若函数y=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[+1，+∞）C．[3﹣2，+∞）D．[3+2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an（n∈N+），则其前7项的和S7=．14．已知变量x，y满足线性约束条件，若线性目标函数z=ax﹣y（a＞1）的最大值为5，则实数a的值为．15．已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）+sinx的导函数为f′（x），且曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为3，则a2+2b2的最小值为．16．抛物线C：x2=ay（a＞0）的焦点与双曲线E：x2﹣2y2=2的右焦点的连线交C于第一象限内的点M，若C在点M处的切线平行于E的一条渐近线，则实数a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣3|+|x+7|．（1）解不等式：f（x）＜16；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．第3页（共18页）18．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2bccosA=a2﹣（b+c）2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为；求b，c．19．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）a0.5第2组[25，35）18x第3组[35，45）b0.9第4组[45，55）90.36第5组[55，65]3y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．20．如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形，EO⊥AB．（Ⅰ）求证BC⊥BE；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．21．如图所示：已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；（2）设点O为坐标原点，问是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．第4页（共18页）22．已知函数f（x）=ex﹣kx．（1）若k＞0，且对于任意x∈[0，+∞），f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞（en+1+2）．（n∈N+）．第5页（共18页）2015-2016学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B2．若1+（a﹣2）i是实数，则等于（）A．1﹣2iB．1+2iC．﹣1+2iD．2+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的四则运算进行计算即可．【解答】解：∵1+（a﹣2）i是实数，∴a﹣2=0，即a=2．∴=，故选：A．3．已知=（2x，﹣1），=（﹣4，2），若，则x的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线列出方程求解即可．【解答】解：=（2x，﹣1），=（﹣4，2），若，可得4=4x，解得x=1．故选：C．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a5=0，且a9=20．则S11=（）A．260B．220C．130D．110【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a5=0，且a9=20．∴，解得a1=﹣，d=．第6页（共18页）则S11=﹣+×=110．故选：D．5．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所有的（a，b）共有6×6=36个，用列举法求得故满足条件的（a，b）有9个，由此求得方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率．【解答】解：所有的（a，b）共有6×6=36个，方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根，等价于△=a2﹣8b＞0，故满足条件的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），共9个，故方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率为=，故选B．6．下列四个命题中，正确的有（）（注：∃表示存在，∀表示任意）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p：“∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0”；③在△ABC中，“A＞60°”是“cosA＜”的充要条件．④若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则c＜a＜b．A．①③④B．①④C．③④D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数的定义可判断；②存在命题的否定，存在改为任意，再否定结论即可；③根据函数的单调性判断即可；④a=0.32＜1，b=20.3＞1，c=log0.32＜0，直接判断．【解答】解：①相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故错误；②命题p：“∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣10”，故错误；③在△ABC中，0＜A＜π，余弦函数递减，故A＞60°”是“cosA＜”的充要条件，故正确；④若a=0.32＜1，b=20.3＞1，c=log0.32＜0，则c＜a＜b，故正确．故选：C．7．设函数f（x）=，若f（x）＞1成立，则实数x的取值范围是（）第7页（共18页）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）【考点】一元二次不等式的应用．【分析】根据函数f（x）是分段函数的形式，对x进行分类讨论：当x≤﹣1时，f（x）=（x+1）2，当x＞﹣1时，f（x）=2x+2，分别解f（x）＞1最后综合得实数x的取值范围．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）=（x+1）2，f（x）＞1即：（x+1）2＞1，解得：x＞0或x＜﹣2，故x＜﹣2；当x＞﹣1时，f（x）=2x+2，f（x）＞1即：2x+2＞1，解得：x＞﹣，故x＞﹣；综上所述，实数x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）故选D．8．如图，定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为（）A．11B．13C．8D．4【考点】程序框图．【分析】根据程序框图可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），比较2tan与lne，lg100与⊗（）﹣1的大小，即可求解得到答案．【解答】解：∵2tan=2，而lne=1，∴（2tan）⊗lne=（2tan）×（lne+1）=2×2=4，∵lg100=2，（）﹣1=3，∴lg100⊗（）﹣1=（）﹣1×（lg100+1）=3×3=9，第8页（共18页）故（2tan）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为4+9=13．故选：B．9．已知函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f（x）=3sin（ωx﹣）的单调增区间是（）A．[k，k]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2k]（k∈Z）C．[kπ+，k]（k∈Z）D．[2k，2k]（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正切函数的周期性求得ω，再根据正弦函数的增区间，求得f（x）的增区间．【解答】解：由题意可得=π，∴ω=1，函数f（x）=3sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得x∈[2kπ﹣，2k]，k∈Z，故选：B．10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高、底面正三角形的边长已知，故可求体积．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的边长是故三棱柱体积V==故选B．11．已知抛物线y2=4x与椭圆x2+=1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出∠AFD=60°，由抛物线y2=4x（p＞0）求焦点F坐标，再设AF=2m，利用三角函数用m表示出AD和FD，再根据第9页（共18页）点F得位置进行分类，表示出A的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出m和a的值，再由a、b、c和定义求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意画出如图形如下：设AB于x轴的交点是D，∵y2=4x，∴焦点F（1，0），由椭圆和抛物线的对称性得，AB⊥x轴，∠AFD=60°，设AF=2m（m＞0），在RT△AFD中，FD=m，AD