第二章圆锥曲线与方程单元测试

第二章圆锥曲线与方程单元测试A组题（共100分）一．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么（）（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0（B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=02．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（）（A）x–y=0（B）x+y=0（C）|x|=|y|（D）y=|x|3．已知椭圆方程为x28+y2m2=1，焦点在x轴上，则其焦距等于（）（A）28–m2（B）222–|m|（C）2m2–8（D）2|m|–224．已知椭圆192522yx上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）（A）2（B）4（C）8（D）235．已知F是椭圆12222byax(ab0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是()（A）22（B）42（C）21(D)23二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。6．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是.8．已知点（0,1)在椭圆x25+y2m=1内，则m的取值范围是.9．椭圆x23m+1+y22m=1的准线平行于x轴,则m的取值范围是.三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。oxyBPAF10．直线x–y–m=0与椭圆x29+y2=1有且仅有一个公共点，求m的值.11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=23,求椭圆的方程.12．若一个动点P(x,y)到两个定点A(–1,0)、B(1,0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程.(1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.B组题（共100分）四．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是（）（A）3x–4y=0,且x＞0（B）4x–3y=0,且0≤y≤4（C）4y–3x=0,且0≤x≤3（D）3y–4x=0,且y＞015．椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值等于（）（A）5或3（B）8（C）5（D）1616．已知F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=32,则椭圆的方程为（）（A）x24+y23=1（B）x216+y23=1（C）x216+y212=1（D）x216+y24=117．若椭圆x216+y2m=1的离心率为13,则m的值等于（）（A）18或1249（B）18或1289（C）16或1249（D）16或1289五．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。18．方程x224–k+y216+k=1表示椭圆，则k的取值范围是.19．椭圆x225＋y29＝1上有一点P到一条准线的距离是52，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积等于.20．已知P是椭圆x225+y29=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8,则点P的横坐标是。21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为77|OB|，则椭圆的离心率等于.六．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5,0)、(5,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–12，求顶点C的轨迹方程.23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。24.已知椭圆1162522yx,P为该椭圆上一点.(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且121PFPF,求12tanFPF的值.C组题（共50分）七．选择或填空题：本大题共2题，每题5分。25．若实数x，y满足xyx224，则x2+y2有（）（A）最小值31，无最大值（B）最小值31，最大值16（C）最小值0，无最大值（D）最小值0，最大值1626．已知θ∈(0,π2),方程x2sinθ+y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是.八．解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27．已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的离心率36e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于CD两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由28．已知直线l:6x－5y－28=0交椭圆22221(0)xyabab于M,N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.(1)求此椭圆的方程;(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得01260PFF?并证明你的结论.参考答案A组一、1.C2.C3.A4.B5.A二、6．17．答：x216+y225=1.由144acacb解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为x216+y225=1.8．答：[1,5)(5,+∞).9．答：m＞1.∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴2310mm,解得m＞1.三、10.解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0,令△＝0，解得m＝±10.11．解：依题意cos∠OFA=23＝ca，又2a＝6,∴a＝3，c=2，b2＝5.当焦点在x轴上时，椭圆方程为x29+y25=1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为x25+y29=1.12．解：设P(x,y),依题意|PA|+|PB|=m,即2222(1)(1)xyxym.(1)当m＝4时，由2222(1)(1)4xyxy化简得点P的轨迹方程是：22143xy.(2)当m＝2时，由2222(1)(1)2xyxy化简得点P的轨迹方程是：y=0，（－1≤x≤1)(3)m＝1时，2222(1)(1)1xyxy无解，∴点P的轨迹不存在.B组13.A14.B15.A16.D17.B18．答：(–16,4)(4,24).由2401602416kkkkk∈(–16,4)(4,24).19．答：37.∵e＝45，|PF1|＝52e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=28137,∴△PF1F2面积等于12|PF1|·h＝37.20．答：x=±535.设P(x,y)，由12·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±535.21．答：e＝12.∵F1(－c,0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为2277abbcbab，e＝ca，∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝12.22．分析因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–12，即可得到动点C的轨迹方程.解设C(x,y),则,55ACBCyykkxx（x≠±5）由11,2552ACBCyykkxx得所以动点C的轨迹方程为x225+y2252=1(x≠±5）23．解：（1）圆C：22(2)(2)8xy；（2）由条件可知a=5，椭圆221259xy，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y－1=1(1)3x,即340xy，设Q（x,y），则334022yxxy，解得45125xy所以存在，Q的坐标为412(,)55。24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e=53.P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为511ePFd,又两准线间距离为35022ca,∴P到右准线的距离为3355350.(2)由椭圆定义得10221aPFPF…①;又121PFPF…②,由①,②联立可解得29,21121PFPF;在21PFF中,6221cFF,∴99292cos21221222121PFPFFFPFPFPFF,∵21PFF为锐角,121635sin99FPF,∴121635tan29FPF.C组25．选D.26.答：θ∈(π4,π2).椭圆方程化为22111sinxycon,∵椭圆焦点在y轴上，∴110sincon∴cossin,又θ∈(0,π2),∴θ∈(π4,π2).27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0依题意233622baabac，解得13ba，∴椭圆方程为1322yx（2）假若存在这样的k值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx∴0)31(36)12(22kk①设1(xC，)1y2(xD，)2y，则2212213193112kxxkkxx，②而4)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则1112211xyxy，即0)1)(1(2121xxyy∴21212(1)(21)()50kxxkxx③将②式代入③整理解得67k经验证，67k，使①成立综上可知，存在67k，使得以CD为直径的圆过点E28．解(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则2222222222212212,bayaxbbayaxb,两式相减得2121221212()6()5bxxyyayyxx……①,由12120,033xxyybc,得x1+x2=3c,y1+y2=－b,代入①得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②;∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=5618c+5b=56……③;由②③解得(b为整数):b=4,c=2,a2=20,因此椭圆方程为:1162022yx.（2）证明:2212121216cos2rrFPFrr12212126421283112()52rrrrrr,∴01260FPF,∴使01260FPF的点P不存在.说明：第23题为2007年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.