导数的概念复习

导数定义的利用例若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于（）A．k2B．kC．k21D．以上都不是分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于xxfxxfx)()2(lim00022)()2(lim000xxfxxfxkxxfxxfx22)()2(lim2000，应选A求曲线方程的斜率和方程例已知曲线xxy1上一点)25,2(A，用斜率定义求：（1）点A的切线的斜率（2）点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率Ak，即求xfxfx)2()2(lim0解：（1）)2()2(fxfyxxxxx)2(2)212(212xxxxxxyxx)2(2limlim00431)2(21lim0xx（2）切线方程为)2(4325xy即0443yx说明：上述求导方法也是用定义求运动物体)(tSS在时刻0t处的瞬时速度的步骤．判断分段函数的在段点处的导数例已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf，判断)(xf在1x处是否可导？分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．解：1)11(211)1(21limlim2200xxxyxxxxxyxx)11(21)11(21limlim20021∴)(xf在1x处不可导．说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000，当0x；包括0x；0x，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．利用导数定义的求解例设函数)(xf在点0x处可导，试求下列各极限的值．1．xxfxxfx)()(lim000；2．.2)()(lim000hhxfhxfh3．若2)(0xf，则kxfkxfk2)()(lim000等于（）A．－1B．－2C．－1D．21分析：在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式．利用函数)(xf在点0x处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．解：1．原式＝)()()(lim000xxfxxfx)()()(lim0000xfxxfxxfx2．原式＝hhxfxfxfhxfh2)()()()(lim00000).()()(21)()(lim)()(lim21000000000xfxfxfhxfhxfhxfhxfhh3．2)()(lim)(0000kxfkxfxfk（含kx），∴kxfkxfk2)()(lim000)(21)()((lim210000xfkxfkxfk.1221故选A．说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．利用定义求导数例1．求函数xy在1x处的导数；2．求函数baxxy2（a、b为常数）的导数．分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数)(xfy在0xx处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．解：1．解法一（导数定义法）：11xy，.21,21111lim,1111110xxyxxxxxy解法二（导函数的函数值法）：xxxy，,1xxxxxxxxy.211limlim00xxxxxyxx∴.21,211xyxy2．)(])()[(22baxxbxxaxxy22)()2()(2xxaxxaxxx,)2()()2(2xaxxxxaxxy.2,2)2(limlim00axyaxxaxxyxx说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．证明函数的在一点处连续例证明：若函数)(xf在点0x处可导，则函数)(xf在点0x处连续．分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明)(0xf在点0x处连续，必须证明)()(lim00xfxfxx．由于函数)(xf在点0x处可导，因此，根据函数在点0x处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化．解：证法一：设xxx0，则当0xx时，0x，)(lim)(lim000xxfxfxxxx)()()(lim0000xfxfxxfxx)()()(lim0000xfxxxfxxfxx)(limlim)()(lim000000xfxxxfxxfxxx).()(0)(000xfxfxf∴函数)(xf在点0x处连续．证法二：∵函数)(xf在点0x处可导，∴在点0x处有yxfxfxxx00lim)]()([lim0xxyxxyxxx000limlimlim00)(0xf∴).()(lim00xfxfxx∴函数)(xf在点0x处连续．说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数)(xf在点0x处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为)(lim00xxfx是使论证推理出现失误的障碍．