兰州一中2016-2017年高三期中数学(理)试题及答案

兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试数学试题（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}1xAxx,2{|2}Bxxx,则AB（）A.{|01}xxB.{|01}xxC.{|01}xxD.{|01}xx2.已知复数12312zbizi，，若12zz是实数，则实数b的值为（）A．0B．32C．6D．63.以下判断正确的是()A.函数()yfx为R上可导函数，则0()0fx是0x为函数()fx极值点的充要条件[来源:学§科§网]B.命题“2000,10xRxx”的否定是“2,10xRxx”C.“()2kkZ”是“函数()sin()fxx是偶函数”的充要条件D.命题“在ABC中，若AB，则sinsinAB”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A．120cm3B．100cm3C．80cm3D．60cm35.由曲线21yx，直线3yx及坐标轴所围成图形的面积为()A.73B.83C.103D.36.设等差数列}{na的前n项和为nS，若21mS,0mS,31mS，则m（）A.3B.4C.5D.67.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=()A.4B.5C.2D.38.设123log2,ln2,5abc，则()A.abcB.bcaC.cabD.cba9.已知函数lnfxxx，则fx的图象大致为()ABCD10.函数cos(2)()yx的图象向右平移2个单位后，与函数sin(2)3yx的图象重合，则的值为()A.56B.56C.6D.611.椭圆C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF,焦距为2c.若直线y=错误!未找到引用源。与椭圆C的一个交点M满足12212MFFMFF??，则该椭圆的离心率等于（）A.22B.21C.32D.3112.已知定义在R上的函数()fx满足：222,[0,1)()2,[1,0)xxfxxx且(2)()fxfx，25()2xgxx，则方程()()fxgx在区间[5,1]上的所有实根之和为（）A.6B.7C.8D.9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.OyxOyxOyxOyx13.已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则.14.已知1sin23，则2cos()4.15.已知0,,axy满足约束条件错误!未找到引用源。若2zxy=+的最小值为1,则a=.16.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知cossinabCcB=+,2b=，则ABC面积的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin23sincos1fxxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12,1BCABACAA，D是棱1CC上的一点，P是AD的延长线与11AC的延长线的交点，且1PB∥平面1BDA．（Ⅰ）求证：DCCD1；（Ⅱ）求二面角11ABDP的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.BACDP1A1B1C(Ⅰ)求a，b的值，并求事件A：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部苹果7手机的利润，求X的分布列及数学期望EX.20．（本小题满分12分）已知抛物线C：22yx，直线:2lykx交C于,AB两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C在点N的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数2ln()2afxxxxxaaR．（Ⅰ）当0a时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx在其定义域内有两个不同的极值点.（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,xx，证明:212xxe．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），曲线2C的极坐标方程为cos2sin40．（Ⅰ）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线1C上一点，Q为曲线2C上一点，求PQ的最小值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,fxmxmR，且(2)0fx的解集为1,1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若,,abcR，且11123mabc，求证：239abc．兰州一中2016-2017-1学期期中考试高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）题号123456789101112答案ADCBCCACABDB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．314．2315．1216．21三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin23sincos1fxxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的最大值和最小值.解：（Ⅰ）()3sin2cos22sin(2)6fxxxx…4分∴()fx的最小正周期为22T，……5分令kx62，则()212kxkZ，∴()fx的对称中心为(,0),()212kkZ……6分（Ⅱ）∵[,]63x∴52666x......8分∴1sin(2)126x∴1()2fx.......10分∴当6x时，()fx的最小值为1；当6x时，()fx的最大值为2……12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12,1BCABACAA，D是棱1CC上的一点，P是AD的延长线与11AC的延长线的交点，且1PB∥平面1BDA．（Ⅰ）求证：DCCD1；（Ⅱ）求二面角11ABDP的平面角的正弦值．解：（Ⅰ）连接1BA交1BA于O，连接OD.∵1PB∥平面1BDA，1BP面1ABP，面1ABP面1BADOD∴1BP∥OD……………2分新*课*标*第*一*网]又∵O为1BA的中点，∴D为AP中点∴1C为1AP中点……………4分∴1ACDPCD∴DCCD1……………5分（Ⅱ）∵在直三棱柱111ABCABC中，2,1BCABAC∴ABAC……………6分以1A为坐标原点，以11AB,11AC1AA所在直线建立空间直角坐标系如图所示。由（Ⅰ）知1C为1AP中点∴点11,,,ABDP坐标分别为1(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(0,1,)2D，(0,2,0)P1111(1,0,0),(0,1,)2ABAD==设平面11ABD的法向量(,,)mxyz∵11mAB且1mAD∴0102xyz取2z∴(0,1,2)m……………8分BACDP1A1B1CyxBACDP1A1B1Cz同理：平面1PBD的法向量(2,1,2)n……………10分设二面角11ABDP平面角为则||5cos5||||mnmn，∴225sin1cos5……………12分19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.(Ⅰ)求a，b的值，并求事件A：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部苹果7手机的利润，求X的分布列及数学期望EX.解：(Ⅰ)由0.15100a=，得15,a=因为352510100,ab++++=所以15.b=………3分3123()(10.1)0.1(10.1)0.972.PAC=-+创-=………6分（Ⅱ）设分期付款的分期数为x，则(1)0.35,(2)0.25,(3)0.15,PPPxxx======(4)0.1,(5)0.15.PPxx====…8分X的所有可能取值为1000，1500，2000.(1000)(1)0.35,PXPx====(1500)(2)(3)0.4,PXPPxx===+==(2000)(4)(5)0.25.PXPPxx===+==………10分所以X的分布列为X100015002000P0.350.40.2510000.3515000.420000.251450.EX=???………12分20．（本小题满分12分）已知抛物线C：22yx，直线:2lykx交C于,AB两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C在点N的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）解法一：设11(,)Axy，22(,)Bxy，把2ykx代入22yx得2220xkx，得122kxx．∵1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．………………………2分∵'4,yx∴'4|kxyk，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．………………………4分∵直线l:2ykx的的斜率为k，∴lAB∥．……………………6分解法二：设11(,)Axy，22(,)Bxy，把2ykx代入22yx得2220xkx，得122kxx．∵1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．……………………2分设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkymx，将22yx代入上式得222048mkkxmx，………………………4分直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk，即lAB∥．…………………6分（Ⅱ）假设存在实数k，存在实数k使AB为直径的圆M经过点N．M是AB