2011丰台区高三期末考试(数学文)有答案

正视图俯视图21.621.5丰台区高三数学第一学期期末试卷（文科）2011.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．复数21ii等于A．1iB．1iC．1iD．1i2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为A．27B．36C．54D．813．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A．3332225B．323325C．329325D．12893254．已知(0)4，，3logsina，sin2b，cos2c，那么a，b，c的大小关系是A．acbB．cabC．bcaD．cba5．已知等比数列{}na的公比为12，并且a1+a3+a5+…+a99=60，那么a1+a2+a3+…+a99+a100的值是A．30B．90C．100D．1206．已知命题p：1x，210x，那么p是A．1x，210xB．1x，210xC．1x，210xD．1x，210x7．对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4的值是A．0B．12C．32D．98．已知函数31()()log5xfxx，若0x是函数()yfx的零点，且100xx，则1()fxA．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．在△ABC中，如果5AB，3AC，7BC，那么A=．10．已知向量(43)a，，(12)b，，那么a与b夹角的余弦值为．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．12．过点(34)，且与圆22(1)(1)25xy相切的直线方程为．13．已知x，y满足约束条件1260yyxxy，，，那么3zxy的最小值为．14．若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X={,,}abc，对于下面给出的四个集合：①{{}{}{}}acabc，，，，，；②{{}{}{}{}}bcbcabc，，，，，，，；③{{}{}{}}aabac，，，，，；④{{}{}{}{}}acbccabc，，，，，，，，．开始输入ba,？ba输出ab1输出ba1结束是否其中是集合X上的拓扑的集合的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分15．（本小题共13分）已知函数2()2sincos2cos()fxxxxxR．（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的取值范围．16．（本小题共13分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD；17．（本小题满分14分）已知函数()logafxx（0a且1a）．（Ⅰ）若函数()fx在[23]，上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（Ⅱ）将函数()fx图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a的取值范围．AA1BCDB1C118．（本小题14分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点(20)M，的直线l与圆221xy交于P，Q两点．（Ⅰ）若3PQ，求直线l的方程；（Ⅱ）若12MPMQ，求直线l与圆的交点坐标．19．（本小题共13分）已知函数2()(1)xfxexax．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）求函数()fx的极值．20．（本小题共13分）已知函数2()(0)fxaxbxa的导函数()422fxx，数列}{na的前n项和为nS，点()nnPnS，（*nN）均在函数)(xfy的图象上．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式na及前n项和nS；（Ⅱ）存在*kN，使得knSSSn2121对任意*nN恒成立，求出k的最小值；（Ⅲ）是否存在*mN，使得12mmmaaa为数列na中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末文科参考答案及评分标准2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案DBCDBBCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．2310．252511．85，3.212．43240xy13．414．②④注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题满分13分）已知函数2()2sincos2cos()fxxxxxR．（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的取值范围．解：（Ⅰ）因为()sin2cos21fxxxAA1BCDB1C1E2sin(2)14x．所以22T．………………………7分（Ⅱ）()2sin(2)14fxx当0,2x时，32444x，所以当242x，max()21fx，当244x，min()2fx．所以)(xf的取值范围是221，．………………………13分16．（本小题满分13分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D点在线段AB上．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以AC⊥BC．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．所以AC⊥B1C．………………………7分（Ⅱ）连结BC1，交B1C于E．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．………………………13分17．（本小题满分14分）已知函数()logafxx（0a且1a）．（Ⅰ）若函数()fx在[23]，上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（Ⅱ）将函数()fx图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象不经过第二象限，求a的取值范围．解：（Ⅰ）因为函数()logafxx在[23]，上是单调函数，所以log3log22aa．所以6a．………………………6分（Ⅱ）依题意，所得函数()log(2)1agxx，由()gx函数图象恒过(11)，点，且不经过第二象限，可得1(0)0ag，即1log210aa，解得2a．所以a的取值范围是[2)，．………………………14分18．（本小题满分14分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点(20)M，的直线l与圆221xy交于P，Q两点．（Ⅰ）若3PQ，求直线l的方程；（Ⅱ）若12MPMQ，求直线l与圆的交点坐标．解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点(2,0)M，可设直线l：(2)ykx．因为3PQ，圆的半径为1，P，Q两点在圆221xy上，所以圆心O到直线l的距离等于2311()22．又因为2|2|121kk，所以1515k，所以直线l的方程为1520xy或1520xy．………………………7分（Ⅱ）设11(,)Pxy，22(,)Qxy，所以22(2,)MQxy，11(2,)MPxy．因为2MQMP，所以212122(2)2xxyy即21212(1)2xxyy（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211xyxy把（*）代入，得2211221114(1)41xyxy，所以1178158xy，，2214154xy，．所以P点坐标为715()88，或715()88，，Q点坐标为115()44，或115()44，．………………………14分19．（本小题满分13分）已知函数2()(1)xfxexax．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）求函数()fx的极值．解：（Ⅰ）22()(12)[(2)1]xxfxexaxxaexaxa．因为曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线与x轴平行，所以(2)0f，即2(2)[42(2)1]0feaa所以3a．………………………5分（Ⅱ）()(1)(1)xfxexax．令()0fx，则1xa或1x．①当11a，即0a时，2()(1)0xfxex，函数()yfx在()，上为增函数，函数无极值点；②当(1)1a，即0a时．x(1)a，1a(11)a，1(1)，()fx+0-0+()fx↗极大值↘极小值↗所以当1xa时，函数有极大值是1(2)aea，当1x时，函数有极小值是2ae；③当(1)1a，即0a时．x(1)，1(11)a，1a(1)a，()fx+0-0+()fx↗极大值↘极小值↗所以当1x时，函数有极大值是2ae，当1xa时，函数有极小值是1(2)aea．综上所述，当0a时函数无极值；当0a时，当1xa时，函数有极大值是1(2)aea，当1x时，函数有极小值是2ae；当0a时，当1x时，函数有极大值是2ae，当1xa时，函数有极小值是1(2)aea．………………………13分20．（本小题满分13分）已知函数2()(0)fxaxbxa的导函数()422fxx，数列}{na的前n项和为nS，点(,)nnPnS（*nN）均在函数)(xfy的图象上．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式na及前n项和nS；（Ⅱ）存在*kN，使得knSSSn2121对任意*nN恒成立，求出k的最小值；（Ⅲ）是否存在*mN，使得12mmmaaa为数列na中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）因为2()(0)fxaxbxa，所以()2fxaxb．因为()422fxx，所以2a，22b．所以2()222fxxx．因为点(,)nnPnS（*nN）均在函数)(xfy的图象上，所以2222nSnn．当1n时，1120aS，当2n时，1424nnnaSSn，所以424nan（*nN）．………………………4分（Ⅱ）存在*kN，使得knSSSn2121对任意*nN恒成立．只要12max()12nSSSkn由（Ⅰ）知2222nSnn，所以2222(11)nSnnn．当11n时，0nSn；当11n时，0nSn；当11n时，0nSn；所以当10n或11n时，1212nSSSn有最大值是110．所以110k，又因为*kN，所以k的最小值为111．…