七年级数学专训1-巧用角平分线的有关计算

阶段方法技巧训练（三）专训1巧用角平分线的有关计算习题课角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．1训练角度角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°，所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.解：12121212如图②，当OC落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.解：12121212本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．点拨：2训练角度巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠A′BD＋∠EBD＝180°，所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°.即两折痕BC与BD间的夹角为90°.本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．解：12点拨：3训练角度巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝(∠AOC＋∠BOC)＝x.又因为∠DOC＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝x－x，解得x＝38°.所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.解：12123232根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．点拨：4训练角度巧用角平分线解决角的推理说明问题(转化思想)4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．∠DOE＝∠COF.理由如下：因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC，所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.解：121212121212又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.12欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠COE的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠EOC＝∠AOC，即可转化成∠DOF与∠EOC的关系，进而可得∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．点拨：125训练角度角平分线与线段中点的结合5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC＝∠AOB＝45°.解：12121212121212(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果(1)中∠BOC＝β(0°＜β＜90°)，其他条件不变，求∠MON的度数；(2)∠MON＝∠AOB＝(3)∠MON＝∠AOB＝45°.解：1212.2α(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关．解：(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．可设计的问题为：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，N分别是线段AC，BC的中点，求线段MN的长．解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝AC，NC＝BC.所以MN＝MC－NC＝(AC－BC)＝AB＝a.解：1212121212