内江二中2005理科

1内江二中2005-2006学年度第二学期期中试卷高二数学理科时间：120分钟满分：150分第I卷(共60分)一.选择题(本大题满分60分,每小题5分)本大题共有12小题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.1．设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（C）A．有且仅有一条直线与a、b都垂直B．有一平面与a、b都垂直C．过直线a有且仅有一平面与b平行D．过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交2．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是（D）A．a//M,b//MB．a⊥M，b⊥MC．a//M,bMD．a、b与平面M成等角3．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（B）A．23B．63C．43D．334．用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为（C）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（C）A．23B．25C．510D．10106．设l1、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：(1)若l1,l2，l1∥β，l1∥a则a∥β.(2)若l1⊥a，l2⊥a，则l1∥l2(3)若l1∥a，l1∥l2，则l2∥a(4)若a⊥β，l1，则l1⊥β其中，正确命题的个数是（B）A．0个B．1个C．2个D．3个7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成角的大小为（B）A.45ºB.90ºC.60ºD.不能确定8．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（D）A．]2,1[B．]2,0(C．)2,0(D．]1,0(9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为332，则正三棱柱班级姓名学号ABA1PB1D1C1DCOM2的体积为（D）A．396B．316C．324D．34810．正四面体ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且FDCFEBAE，记)(f（其中表示EF和AC所成的角，表示EF和BD所成的角），则（）A．)(f在,0上单调递增B．)(f在,0上单调递减C．)(f在[0，1]上单调递增，在[1，+∞]上单调递减D．)(f在,0上为常数11．正方体A’B’C’D’—ABCE的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b，（ba），Q在D’C’上滑动，则四面体A’—EFQ的体积为（D）A．与E、F位置有关B．与Q位置有关C．与E、F、Q位置都有关D．与E、F、Q位置均无关，是定值12．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且A与B，A与C，B与C两点的球面距离分别是2，2，3，则OB与平面ABC所成的角是（A）A．arcsin721B．arcsin772C．arccos77D．arccos721第卷(共90分)二．本题满分16分.、填空题：本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分）13．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面边长为a,则该正六棱柱外接球的表面积为5πa2.14．在30°二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成30°角，则此直线与二面角的另一个面所成的角的正弦值为；1415．在正三棱锥S—ABC，D为AB中点，且直线SD与BC所成角为45°，则SD与底面ABC所成角的正弦值为33.16.四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。其中正确的是：___①③____。（填上所有正确命题的序号）三.解答题：本题共有7小题，要求写出解答过程和演算、证明步骤.本题满分74分.ADBCS317．(本小题满分12分)已知四边形ABCD中，90ABCBAD，PA平面ABCD，PA=AD=3BC=3，AB=2.（1）求点D到平面PAC的距离；（2）若点M分PA的比为2，求二面角M—CD—A的正切值.解法一：（1）过D作DQ⊥AC于点Q，PA平面ABCD，DQPA.DQ平面PAC.∴又由DQACABADSACD2121，522BCABAC556523ACABADDQ，∴D到平面PAC的距离为.556（2）过A作AK⊥DC于K点，连MK.∵PA⊥平面ABCD，∴MK⊥CD.∴∠MKA为M—CD—A的平面角.ACDMAPMMAPMADPA在又.1,2,2,3中，由面积相等，得22,CDAKCDABAD又，.32tan,223AKMAMKACDABADAK解法二：以A为坐标原点，分别以APADAB,,所在直线为x、y、z轴建立坐标系.（1）过D作DQPACDQDQPAQACDQ,,,平面于就是D到平面PAC的距离.设),0,1,2()(mBCABmACmAQ),0,3,2()0,1,2()0,3,0(mmmAQDADQ由53,0)3(4,2mmmmAQDQAQDQ得.556)512()56(||22DQ（2）过A作).0,2,2(,DCDKKDCAK设点于则,43,0,).0,23,2(DKAKADAKDKADAK.2230)23()23(||22AKMKACDMKABCDMA.,平面就是M—CD—A的平面角.APMBCD4EDBCA1C1B1AEDBCA1C1B1Ayxz.32||||tanAKMAMKA18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；解：（Ⅰ）∵四边形BCB1C1是矩形，∴BC⊥BB1，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，（Ⅱ）过A1作A1D⊥BB1于D，连接DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面C1B1BC，∠A1CD为直线A1C与平面C1B1BC所成的角，∴.133921332tan11CDDACDA（Ⅲ）由棱柱定义知B1C1//BC，∴B1C1//平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离，∵四边形A1ABB1是菱形，连AB1交A1B于O，∴B1O⊥A1B，∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离.又已知AB=4，∠A1AB=60°，∴在菱形A1ABB1中，B1O=32，∴C1到平面A1BC的距离为32.19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、1CC的中点，12ABAA。（Ⅰ）证明：1BEAB；（Ⅱ）求二面角1BABD的大小。解：如图建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）证明：因为(1,0,0)B，(1,0,1)E，(0,3,0)A，1(1,0,2)B，所以(2,0,1)BE，1(1,3,2)AB，故12(1)0(3)120BEAB，因此，有1BEAB；（Ⅱ）设1(,,)nxyz是平面1ABB的法向量，因为1(1,3,2)AB，1(0,0,2)BB，所以由1111111132020nABnABxyznBBnBBz可取1(3,1,0)n；同理，2(2,0,1)n是平面1ABD的法向量。ACBA1B1C15设二面角1BABD的平面角为，则121212||1515cos|cos,|arccos55||||nnnnnn。20.(本小题满分12分)如图,正方形A1BA2C的边长为4，D是A1B的中点，E是BA2上的点，将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起，使A1、A2重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角.(1)求证：CD⊥DE；(2)求AE与面DEC所成角的正弦值；20.(1)∵A1、A2重合于A∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE∴AC⊥DE∵A—DC—E为直二面角，∴过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE，故CD为AC在面CDE上的射影，由三垂线定量的逆定理有：CD⊥DE.(2)∵AF⊥画CDE，∴∠AEF为AE与面DEC所成的角，在RT△CAD中，AD=2，AD=2，AC=4，∴DC=2,AF,545又∴CD⊥DE，∴在正方形A1BA2C中，△DBE~△CA1D,故BEBDDACA11，则面，，∵又ACDDEACDECDDE5DE1,BEDE⊥AD.∴在Rt△ADE中，AE=3，故在Rt△AFE中，sin∠AEF=1554AEAF∴AE与面DEC所成角的正弦值为1554.6(3)设D到面AEC的距离为d，则由VD-AEC=VA-DEC有：21·31AE·AC·d=·21·31CD·DE·AF∴3×4d=25·5·54故d=，352即点D到平面AEC的距离为.35221．(本小题满分12分)在正四棱柱1111ABCDABCD中,1O为上底面1111ABCD的中心.（Ⅰ）求证:1BO∥平面1ADC;（Ⅱ）若12,4,ABAA求点B到平面1ADC的距离;（Ⅲ）当1AAAB的值为多少时，二面角1ABDD是60°.（Ⅰ）证明：连B1D1、BD，设,BDACO∵四棱柱1AC为正四棱柱11DO∥11,BODOBO,1111,DOADCBOADC面面，∴11BOADC面（或证明面BA1C1//面1ADC.）(Ⅱ)解法一：设B到面AD1C的距离为h,∵11BADCDABCVV,∴111133ACDABCShSDD,即111122322243232h∴34h,即B到面AD1C的距离为34.解法二：B到面AD1C的距离即为D到面AD1C的距离.过D作DH⊥OD1,可证明平面ACD1⊥平面BB1D1D.则DH的长即为D到面AD1C的距离.可求得DH=34.(Ⅲ)当ABAA1=1时二面角1ABDD是60°.∵AC⊥BD1，DD1⊥AC，∴AC⊥面BDD1，过A作AE⊥BD1与E，连接OE，则OE⊥BD1，∴∠AEO为二面角A-BD1-D的平面角,设AB=AA1=2，则OA=2，AE=362，∴23sinAEOAAEO，60AEB所以当ABAA1=1时二面角1ABDD是60°.另解:∵AC⊥BD,DD1⊥AC,∴AC⊥面BDD1,过A作AE⊥BD1与E,连接OE.则OE⊥BD1,∴∠AEO为二面角A-BD1-D的平面角∵∠AEO=60°,∴03sin602OAAE,∴4OA2=3AE2设AB=a,AA1=b,则由4OA2=3AE2得ab,∴ABAA1=1D1ABCDA1B1C1O1OE7所以当ABAA1=1时二面角1ABDD是60°22．(本小题满分14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F.（Ⅰ）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；（Ⅱ）求直线A1C与DE所成的角；（Ⅲ）设P为侧面BCC1B1上的动点，且,332AP试指出动点P的轨迹，并求出其轨迹所表示曲