指数函数知识点总结

指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Rsra；（2）rssraa)(),,0(Rsra；（3）srraaab)(),,0(Rsra．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是≤＜．0y3练习：（1）412xy；（2）||2()3xy；（3）1241xxy；【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859解(2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1（４）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，aaaaannnnnnnnnnnn11111111(a0a1n1)0a1n10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aaannaaannnnnnnnnnnn1111111111()()()1a1n101【例5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x＝＝－，()121x(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|解(1)y(264)(0)(11)y1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121xx解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)【例8】已知＝＞f(x)(a1)aaxx11(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．f(x)f(x)－＝＝－，aaaaxxxx1111∴函数f(x)为奇函数．(2)yy1a1y1x函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，aayyyyxx1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212单元测试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、化简1111132168421212121212，结果是（）A、11321122B、113212C、13212D、13211222、44366399aa等于（）A、16aB、8aC、4aD、2a3、若1,0ab,且22bbaa,则bbaa的值等于（）A、6B、2C、2D、24、函数2()1xfxa在R上是减函数，则a的取值范围是（）A、1aB、2aC、2aD、12a5、下列函数式中，满足1(1)()2fxfx的是()A、1(1)2xB、14xC、2xD、2x6、下列2()(1)xxfxaa是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数7、已知,0abab，下列不等式（1）22ab；(2)22ab；(3)ba11；(4)1133ab；(5)1133ab中恒成立的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、函数2121xxy是（）A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数9、函数121xy的值域是（）A、,1B、,00,C、1,D、(,1)0,10、已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、2()1()(0)21xFxfxx是偶函数，且()fx不恒等于零，则()fx()A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则n年后这批设备的价值为（）A、(1%)nabB、(1%)anbC、[1(%)]nabD、(1%)nab二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）13、若103,104xy，则10xy。14、函数22811(31)3xxyx≤≤的值域是。15、函数2233xy的单调递减区间是。16、若21(5)2xfx，则(125)f。三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa。18、已知3,2x，求11()142xxfx的最小值与最大值。19、设aR，22()()21xxaafxxR，试确定a的值，使()fx为奇函数。20、已知函数22513xxy，求其单调区间及值域。21、若函数4323xxy的值域为1,7，试确定x的取值范围。22、已知函数1()(1)1xxafxaa(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()fx是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案一、题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD二、13、4314、991,33，令222812(2)9Uxxx，∵31,99xU≤≤≤≤,又∵13Uy为减函数，∴99133y≤≤。15、0,，令23,23UyUx，∵3Uy为增函数，∴2233xy的单调递减区间为0,。16、0，3221(125)(5)(5)220fff三、17、∵01a,∴xya在,上为减函数，∵22232223xxxxaa,∴222322231xxxxx18、221113()142122124224xxxxxxxfx,∵3,2x,∴1284x≤≤.则当122x,即1x时,()fx有最小值43；当28x,即3x时，()fx有最大值57。19、要使()fx为奇函数，∵xR,∴需()()0fxfx,∴1222(),()212121xxxxfxafxaa,由12202121xxxaa,得2(21)2021xxa,1a。20、令13Uy,225Uxx，则y是关于U的减函数，而U是,1上的减函数，1,上的增函数，∴22513xxy在,1上是增函数，而在1,上是减函数，又∵2225(1)44Uxxx≥,∴22513xxy的值域为410,3。21、243232323xxxxy，依题意有22(2)3237(2)3231xxxx≤≥即1242221xxx或≤≤≥≤，∴224021,xx或≤≤≤由函数2xy的单调性可得(,0][1,2]x。22、（1）∵定义域为xR,且11()(),()11xxxxaafxfxfxaa是奇函数；（2）1222()1,11,02,111xxxxxafxaaaa∵即()fx的值域为1,1；（3）设12,xxR,且12xx，12121212121122()()011(1)(1)xxxxxxxxaaaafxfxaaaa(∵分母大于零，且12xxaa)∴()fx是R上的增函数。