人教A版(2019)必修第二册《第6章-平面向量及其应用》单元测试卷(3)-

人教A版（2019）必修第二册《第6章平面向量及其应用》单元测试卷（3）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图所示，在平行四边形ABCD中，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2.已知向量𝑎⃗⃗=(1,2)，𝑏⃗=(−1,1)，若𝑐⃗满足(𝑐⃗+𝑎⃗⃗)//𝑏⃗，𝑐⃗⊥(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)，则𝑐⃗=()A.(−3,0)B.(1,0)C.(0,−3)D.(0,1)3.在四边形ABCD中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.已知向量𝑎⃗⃗=(1,𝑚)，𝑏⃗=(3,−2)，且(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⊥𝑏⃗，则𝑚=()A.−8B.−6C.6D.85.已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2𝑥2+3𝑥−2=0的根，则第三边长是()A.√20B.√21C.√22D.√616.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(𝑎2+𝑐2−𝑏2)tan𝐵=√3𝑎𝑐，则角B的值为()A.𝜋6B.𝜋3或2𝜋3C.𝜋3D.𝜋6或5𝜋67.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若𝑐=2𝑎，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=12𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶，则cosB等于()A.34B.23C.13D.128.在△𝐴𝐵𝐶中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且𝐴𝐵𝐶，3𝑏=20𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴，则𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶为()A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:49.如图在△𝐴𝐵𝐶中，D是AC边上的点且𝐴𝐵=𝐴𝐷，2𝐴𝐵=√3𝐵𝐷，𝐵𝐶=2𝐵𝐷.则cosC的值()A.√66B.√36C.√306D.√6310.如图，半圆的直径𝐴𝐵=4，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A.2B.0C.−1D.−211.D为△𝐴𝐵𝐶的边BC的中点，E为AD中点，若𝐴𝐷=𝑎，则(𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=()A.−𝑎22B.𝑎22C.−2𝑎2D.𝑎212.已知|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗⃗=𝜆𝑏⃗，𝜆∈𝑅，则|𝑎−−𝑏⃗|等于()A.1B.3C.1或3D.|𝜆|二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=√2，(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)⊥𝑎⃗⃗=0，那么𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角𝜃=________．14.已知向量𝑎⃗⃗=(1,2)，𝑎⃗⃗·𝑏⃗=10，|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=10，则|𝑏⃗|=______．15.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶，则tanA的值是________．16.如图，△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧𝐸𝐹⏜上的一点，则𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量𝑎⃗⃗=(−3,2),𝑏⃗=(2,1),𝑐⃗=(3,−1),𝑡∈𝑅(1)求|𝑎⃗⃗+𝑡𝑏⃗|的最小值及相应的t值；(2)若𝑎⃗⃗−𝑡𝑏⃗与𝑐⃗共线，求实数t．18.在△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=12．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若𝑎=2,𝑏+𝑐=2√3，求△𝐴𝐵𝐶的面积．19.在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足𝑡𝑎𝑛𝐴=12𝑡𝑎𝑛𝐵=13𝑡𝑎𝑛𝐶．(1)求角A的大小；(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为15，求a的值．20..在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑎+𝑏,𝑐)，𝑛⃗⃗(𝑏+𝑐,𝑎−𝑏)，且𝑚⃗⃗⃗//𝑛⃗⃗．(1)求角A的大小；(2)若𝐵=𝜋6，𝑎=3，求△𝐴𝐵𝐶的面积．21.如图，某公园有三条观光大道𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶围成直角三角形，其中直角边𝐵𝐶=200𝑚，斜边𝐴𝐵=400𝑚.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶大道上嬉戏，所在位置分别记为点𝐷,𝐸,𝐹．(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为𝜃的函数，并求甲乙之间的最小距离．22.已知𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗是同一平面内的三个向量，其中𝑎⃗⃗=(−1,2)．(1)若|𝑐⃗|=√5，且𝑎⃗⃗//𝑐⃗，求𝑐⃗的坐标；(2)若|𝑏⃗|=√52，且(𝑎⃗⃗+2𝑏⃗⃗⃗⃗)⊥(2𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，求|2𝑎⃗⃗+𝑏⃗|.--------答案与解析--------1.答案：C解析：本题考查了向量的加法运算，属于基础题．利用向量的加法运算法则可得结果．解：由四边形ABCD是平行四边形可得：𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+(𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+0⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗．故选C．2.答案：A解析：考查向量坐标的加法和数量积运算，向量平行、向量垂直时的坐标关系，属中档题．可设𝑐⃗=(𝑥,𝑦)，从而可得出𝑐⃗+𝑎⃗⃗=(𝑥+1,𝑦+2)，且得到𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(0,3)，这样根据(𝑐⃗+𝑎⃗⃗)//𝑏⃗即可得出𝑥+𝑦+3=0①，而根据𝑐⃗⊥(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)即可求出𝑦=0，带入①即可求出x，从而得出𝑐⃗的坐标．解：𝑎⃗⃗=(1,2)，𝑏⃗=(−1,1)，设𝑐⃗=(𝑥,𝑦)，则：𝑐⃗+𝑎⃗⃗=(𝑥+1,𝑦+2)，且𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(0,3)，∵(𝑐⃗+𝑎⃗⃗)//𝑏⃗；∴𝑥+1+𝑦+2=0；∴𝑥+𝑦+3=0①；∵𝑐⃗⊥(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)；∴3𝑦=0；∴𝑦=0，带入①得，𝑥=−3；∴𝑐⃗=(−3,0)．故选：A．3.答案：C解析：解：在四边形ABCD中，∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐴𝐵−//𝐷𝐶，∴四边形ABCD是矩形．故选：C．由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，得𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，得𝐴𝐵−//𝐷𝐶，由此能判断四边形ABCD的形状．本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量相等的性质的合理运用．4.答案：D解析：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题．求出向量𝑎⃗⃗+𝑏⃗的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．解：∵向量𝑎⃗⃗=(1,𝑚)，𝑏⃗=(3,−2)，∴𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(4,𝑚−2)，又∵(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⊥𝑏⃗，∴(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)·𝑏⃗=12−2(𝑚−2)=0，解得𝑚=8．故选D．5.答案：B解析：由已知中三角形的两边长分别为4和5，其夹角的余弦是方程2𝑥2+3𝑥−2=0的根，求出两边夹角的余弦，利用余弦定理可得答案．本题考查的知识点是余弦定理的应用，其中解三角形求出两边夹角的余弦是解答的关键．解：解方程2𝑥2+3𝑥−2=0得𝑥=−2，或𝑥=12∵三角形的两边夹角𝜃的余弦是方程2𝑥2+3𝑥−2=0的根故𝑐𝑜𝑠𝜃=12则第三边长√42+52−2⋅4⋅5⋅12=√21故选B．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点.通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出𝐵.解：由(𝑎2+𝑐2−𝑏2)𝑡𝑎𝑛𝐵=√3𝑎𝑐∴(𝑎2+𝑐2−𝑏2)2𝑎𝑐=√32𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵，即cos𝐵=√32cos𝐵sin𝐵∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√32，又在△中所以B为𝜋3或2𝜋3故选B.7.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由𝑐=2𝑎，利用正弦定理化简已知等式可得：𝑏2−𝑎2=12𝑎𝑐=𝑎2，利用余弦定理即可求得cosB的值．解：∵若𝑐=2𝑎，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=12𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶，∴则由正弦定理可得：𝑏2−𝑎2=12𝑎𝑐=𝑎2，即：𝑏2=𝑎2+12𝑎𝑐=2𝑎2，∴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=3𝑎24𝑎2=34．故选A．8.答案：D解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.由题意可得，可设设三边长分别为a，𝑎−1，𝑎−2，由余弦定理求得cosA的值，再根据3𝑏=20𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴求得a的值，可得sinA：sinB：𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎：b：c的值．解：△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐴𝐵𝐶，设三边长分别为a，𝑎−1，𝑎−2，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=(𝑎−1)2+(𝑎−2)2−𝑎22(𝑎−1)(𝑎−2)=𝑎−52(𝑎−2)，又3𝑏=20𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴，可得3𝑏=3𝑎−3=10𝑎(𝑎−5)𝑎−2，解得𝑎=6，再由正弦定理可得sinA：sinB：𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎：b：𝑐=6：5：4．故选D．9.答案：C解析：解：不妨设𝐵𝐷=2√3，则𝐵𝐶=4√3，𝐴𝐵=𝐴𝐷=3．在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠𝐴=32+32−(2√3)22×3×3=13，∵𝐵∈(0,𝜋)，∴𝑠𝑖𝑛𝐴=√1−cos2𝐴=2√23．在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得：𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴，可得：𝑠𝑖𝑛𝐶=3×2√234√3=√66，C为锐角，∴𝑐𝑜𝑠𝐶=√306．故选：C．不妨设𝐵𝐷=2√3，则𝐵𝐶=4√3，𝐴𝐵=𝐴𝐷=3.在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠𝐴=13，可得𝑠𝑖𝑛𝐴=√1−cos2𝐴.在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得：𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴，即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．根据图形知O是线段AB的中点，所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．解：因为O为AB的中点，所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，从而(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，又|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2为定值，所以当且仅