4.4.2对数函数的图象和性质(答案版)

1.对数函数的图象和性质y＝logaxa10a1图象性质定义域为(0，＋∞)，值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数函数y＝logax与xya1log的图象关于x轴对称2.不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a1的对数函数，在区间），（1内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在区间），（1内，底数越小越靠近x轴。3.反函数的概念一般地，指数函数)1,0(aaayx与对数函数)10(logaaxya且互为反函数.(1))1,0(aaayx的定义域R就是)10(logaaxya且的值域；而xay的值域），（0就是)10(logaaxya且的定义域；(2)互为反函数的两个函数)1,0(aaayx与)10(logaaxya且的图象关于xy对称；(3)互为反函数的两个函数)1,0(aaayx与)10(logaaxya且的单调性相同，但单调区间不一定相同。对数函数的图象和性质知识讲解同步练习一、选择题1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,且a0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1,c1D.0a1,0c1【答案】D【解析】由题意可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0c1.根据单调性易知0a1.2.下列关于函数)4(log)(31xxf的单调性叙述正确的是（D）A.在R上为增函数B.在R上为减函数C.在区间），（4上为增函数D.在区间），（4上为减函数【答案】D3.函数12()log(2)fxx的单调递增区间是()A．(,2)B．(,0)C．(2,)D．(0,)【答案】A【解析】由20x，得到2x，令2tx，则2tx在(,2)上递减，而12logyt在(0,)上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到12()log(2)fxx在(,2)上递增，故选：A4.设a，b，c均为正数，且aa21log2，bb21log21，cc2log21，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac【答案】A【解析】由函数y＝2x，y＝12x，y＝log2x，y＝log12x的图象知0ab1c.5.函数y=loga(x+2)+1(a0,且a≠1)的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)【答案】D【解析】令x+2=1,得x=-1,此时y=1.6.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)【答案】D【解析】令t(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t(x)在区间(-∞,-2]上是减函数,且t(-2)0,所以有-4≤a4,故选D.7.函数2()log()afxaxx在[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．112a或1aB．1aC．114aD．108a【答案】B【解析】2100,[2,4]axxaxxa，因为2axx在1,a上单调递增，当01a时，外函数logayx为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当1a时，外函数logayx为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域1,a内为减函数且11a，所以满足题意，故选择B．8.已知函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎,𝑥11+log2𝑥,𝑥⩾1，若𝑓(𝑥)的值域为R，则实数a的取值范围是()A.(1,2]B.(－∞，2]C.(0,2]D.[2，＋∞)【答案】A【解析】当x≥1时，𝑓(𝑥)＝1＋log2𝑥≥1；当x＜1时，𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎必须是增函数，且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足𝑓(𝑥)的值域为R，可得{𝑎−10𝑎−1+4−2𝑎⩾1，解得a∈(1,2]．9.已知a0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()【答案】C【解析】∵函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,再由函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确.10.y=2x与y=log2x的图象关于()A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称【答案】B【解析】函数y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.11.已知f(x)为R上的增函数，且f(log2x)f(1)，则x的取值范围为()A.12，2B.0，12∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】依题意有log2x1，所以x2.12.已知函数fx为R上的偶函数，当0x时，22020log1fxxx，则关于x的不等式122fxf的解集为（）．A．1,2B．3,2C．13,22D．30,2【答案】C【解析】由于函数21uxx在0,上为增函数，所以，函数22020log1fxxx在区间0,上为增函数，由于函数yfx为R上的偶函数，由122fxf可得122fxf，122x，可得2212x，解得1322x.因此，关于x的不等式122fxf的解集为13,22.故选：C.13.已知a0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是()【答案】C【解析】当a1时，函数y＝logax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴交点的纵坐标大于1；当0a1时，函数y＝logax为减函数，且直线y＝x＋a与y轴交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.14.函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为()【答案】C【解析】方法一：先画y＝logax的图象，然后作y＝logax的图象关于y轴对称的图象，将两个函数的图象向上平移1个单位，即得到函数y＝loga|x|＋1(a＞1)的大致图象．方法二：函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又因为图象过(1，1)，(－1，1)两点，结合选项可知，选C.15.图中曲线是对数函数logayx的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则相应于1C，2C，3C，4C的a值依次为()A．3，43，35，110B．3，43，110，35C．43，3，35，110D．43，3，110，35【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数logayx的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C，2C，3C，4C的a值从小到大依次为：4C，3C，2C，1C，由a取3，43，35，110四个值，故1C，2C，3C，4C的a值依次为3，43，35，110，故选：A．二、填空题1.函数()log(43)(0afxxa且1)a的图象所过定点的坐标是________.【答案】1,0【解析】由log10a可令431x，解得1x，所以图象所过定点的坐标是1,02.设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，则a的值为________．【答案】2【解析】因为logax＋logay＝loga(xy)＝c(a1)，所以y＝acx.因为a1，所以y＝acx在x∈[a，2a]上单调递减，所以ymax＝aca＝ac－1，ymin＝ac2a＝12ac－1，ac－1≤a2⇒c≤3，12ac－1≥a⇒ac－2≥2⇒c≥loga2＋2.因为loga2＋2≤c≤3且c值只有1个，所以c＝3，即loga2＝1，故a＝2.3.已知函数f(x)={log2𝑥,𝑥0,3𝑥,𝑥≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.【答案】(0,1]【解析】函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0a≤1.4.已知函数y＝log12()x2－ax＋a在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，4]【解析】令t＝x2－ax＋a，则函数f(x)在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t在区间(2，＋∞)上是增函数，且t(2)≥0，所以a2≤2，t＝4－a≥0，解得a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]三、解答题1.比较下列各组数的大小；(1)log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9；(2)log32，log23，log413.【答案】(1)log0.80.9＜log0.90.8＜log0.90.7;(2)log413＜log32＜log23【解析】(1)因为y＝log0.9x在(0，＋∞)上是减函数，且0.9＞0.8＞0.7，所以1＜log0.90.8＜log0.90.7.又因为log0.80.9＜log0.80.8＝1，所以log0.80.9＜log0.90.8＜log0.90.7.(2)由log31＜log32＜log33，得0＜log32＜1.又因为log23＞log22＝1，log413＜log41＝0，所以log413＜log32＜log23.2.已知实数x满足21log321x.求函数y＝log2x2·log2x4的值域．【答案】－14，2【解析】y＝log2x2log2x4＝(log2x－1)(log2x－2)＝log22x－3log2x＋2.因为－3≤log12x≤－12，所以12≤log2x≤3.令t＝log2x，则t∈12，3，y＝t2－3t＋2＝t－322－14，所以t＝32时，ymin＝－14；t＝3时，ymax＝2.故函数的值域为－14，2.3.已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；(2)存在实数a＝12，使f(x)的最小值为0.【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有a＞0，3a－1a＝1，解得a＝12.故存在实数a＝12，使f(x)的最小值为0.4.已知0m，函数()lg(2)fxxm．（1）当1m时，解不等式()0fx„；（2）若对于任意31,,()2tfx在区间[,2]tt上的最大值与最小值的和