等腰三角形与直角三角形ppt-人教版

第18讲等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形的概念及分类1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形．2．等腰三角形分为：底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形．温馨提示：1.若题目中没有明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，就需要分类讨论.2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底，底角α满足0°＜α＜90°，顶角β满足0°＜β＜180°.考点二等腰三角形的性质和判定1．性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成：等边对等角)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线是它的对称轴．温馨提示：这个性质简写成“三线合一”，但不能简单地说成“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一”.2．判定(1)定义法；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：等角对等边)．温馨提示：等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.考点三等边三角形的性质和判定1．性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.2．判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．温馨提示：由判定2可知，在等腰三角形中，只要有一个角是60°，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.考点四直角三角形的性质和判定1．性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.温馨提示：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，非直角三角形可作高转化为直角三角形.2．判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．温馨提示：1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短边的平方和与长边的平方作比较.2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.3.若a，b，c为一直角三角形的三边长，则以ma，mb，mcm＞0为三边的三角形也是直角三角形.4.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.考点五线段垂直平分线的性质和判定1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．2．性质(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．温馨提示：1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.考点一等腰三角形的性质例1(2014·南充)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()A．30°B．36°C．40°D．45°【点拨】∵AB＝AC，CD＝AD，AB＝BD，∴∠B＝∠C＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA是△ADC的外角，∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x°，则∠BDA＝∠BAD＝2x°，根据题意，得x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36，即∠B＝36°.故选B.【答案】B方法总结：等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、一个角等于90°、计算线段长度和角的大小等.考点二等腰三角形的判定例2(2014·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的判定．解：(1)①②；①③(2)选①②证明如下：在△BOE和△COD中，∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BOE≌△COD.∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB.即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．考点三等边三角形的性质与判定例3(2014·温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．【点拨】本题考查等边三角形的性质，由性质得出角的度数是解本题的关键．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDF＝30°.(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°，∴∠CEF＝30°＝∠F.∴CE＝CF.又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE＝2.∴DF＝2CE＝4.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据以上性质可以进行相关的计算与证明.考点四直角三角形的性质与判定例4(2014·无锡)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．【点拨】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，E是AC的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10.∵AD＝6，∴CD＝AC2－AD2＝102－62＝8.【答案】8方法总结：若已知三角形中的一个角为90°，解这个直角三角形首先应考虑勾股定理.证明一个三角形为直角三角形，可证明一个内角等于90°，也可利用勾股定理的逆定理.考点五线段垂直平分线的性质例5(2014·河南)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为________．【点拨】由作图方法可知BD＝CD，∴∠DCB＝∠B＝25°.∵∠ADC是△BDC的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝50°.∵CD＝AC，∴∠A＝∠ADC＝50°.∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－25°＝105°.【答案】105°方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相关的问题.1．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为()A．6B．25C.7D．5解析：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC上的中线，∴BD＝CD＝12BC＝3，AD是BC上的高，∴AB＝AD2＋BD2＝5，故它的腰长为5.故选D.答案：D2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(C)A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°解析：分两种情况：(1)这个等腰三角形的顶角为40°，则底角为(180°－40°)÷2＝70°；(2)这个等腰三角形的底角为40°，则顶角为180°－2×40°＝100°.故选C.3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为()A．32.5°B．57.5°C．32.5°或57.5°D．65°或57.5°解析：如图①，∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，∴∠A＝65°.∵AB＝AC，∴∠C＝(180°－65°)÷2＝57.5°.如图②，∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝65°.∵AB＝AC，∴∠C＝65°÷2＝32.5°.故选C.答案：C4．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为()A．2B．23C.3D．3解析：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBA＝∠DBC＝30°.∵QF垂直平分BP，∴BP＝2BQ，且∠BQF＝90°.在Rt△BFQ中，FQ＝12BF＝1，BQ＝BF2－FQ2＝22－12＝3.于是BP＝23.在Rt△BPE中，PE＝12BP＝3.故选C.答案：C5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC是等腰直角三角形．解析：∵c2－a2－b2＋|a－b|＝0，c2－a2－b2≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形．6．如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连接DC.如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC的周长为.解析：∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴CD＝BD＝6，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝80°，∴∠ADC＝∠A＝80°，∴AC＝CD＝6，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝2＋6＋6＝14.答案：147．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明：∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠D.∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.又∵∠BCE＝∠D＋∠CED，∴∠BCE＝2∠D＝2∠EBD.∵BE⊥CE，∴∠BCE＝60°，∠EBC＝30°.∴BC＝2CE.∵EA＝EC，∴BC＝AC.∴△ABC是等边三角形．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°.由作图可知BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝75°，∴∠DBC＝180°－2×75°＝30°，∴∠ABD＝75°－30°＝45°.故选B.答案：B2．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为()A．60°B．45°C．40°D．30°解析：如图，过点C作CE∥直线m.∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°，∴∠α＝40°.故选C.答案：C3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°.AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A．48B．60C．76D．80解析：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，∴AB＝AE2＋BE2＝62＋82＝10.∴S阴影＝102－12×6×8＝100－24＝76.故选C.答案：C4．一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(D)A．5B.7C.5D．5或7解析：当4是直角边时，第三边的长为32＋42＝5；当4是斜边时，第三边的长为42－32＝7.故选D.5．(2014·甘孜州)如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为()A．1B．2C．3D．4解析：由题意可得BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.在Rt△BDC中，BC＝5，CD＝3，∴BD＝BC2－CD2＝52－32＝4.故选D.答案：D6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果