2017-2018学年高中数学人教A版必修四阶段质量检测：（三） Word版含解析

阶段质量检测（三）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝2cos2x2＋1的最小正周期是()A．4πB．2πC．πD.π22．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为()A．－32B．－12C.12D.323．已知α是第二象限角，且cosα＝－35，则cosπ4－α的值是()A.210B．－210C.7210D．－72104．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α等于()A．－79B．－13C.13D.795．已知tan(α＋β)＝14，tanα＝322，那么tan(2α＋β)等于()A.25B.14C.1318D.13226.1－3tan75°3＋tan75°的值等于()A．2＋3B．2－3C．1D．－17．在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．若θ∈0，π2，sinθ－cosθ＝22，则cos2θ等于()A.32B．－32C．±32D．±129．若函数g(x)＝asinxcosx(a0)的最大值为12，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为()A．x＝0B．x＝－3π4C．x＝－π4D．x＝－5π410．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两个根，且－π2απ2，－π2βπ2，则α＋β为()A.π6B．－2π3C.π6或－5π6D．－π3或2π311．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝sin37°·sin67°＋sin53°sin23°，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac12．在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2π4－B2＋cos2B，当f(B)－m2恒成立时，实数m的取值范围是()A．m1B．m－3C．m3D．m1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________．14．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．15．已知θ∈π2，π，1sinθ＋1cosθ＝22，则sin2θ＋π3的值为________．16．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，求sinθ－π6以及tanθ＋π4的值．18．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0αβ≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.19．(12分)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．20．(12分)已知f(x)＝sinx＋2sinπ4＋x2cosπ4＋x2.(1)若f(α)＝22，α∈－π2，0，求α的值；(2)若sinx2＝45，x∈π2，π，求f(x)的值．21．(12分)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．22．(12分)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．答案1.解析：选B∵y＝2cos2x2＋1＝2cos2x2－1＋2＝cosx＋2，∴函数的最小正周期T＝2π.2.解析：选Csin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.3.解析：选A由题意，sinα＝45，cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝210.4.解析：选Acos(2π3＋2α)＝cos[π－2(π6－α)]＝－cos[2(π6－α)]＝2sin2π6－α－1＝－79.5.解析：选Atan(2α＋β)＝tan（α＋β）＋tanα1－tan（α＋β）tanα＝25.6.解析：选D1－3tan75°3＋tan75°＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°·tan75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1.7.解析：选C在△ABC中，tanA＋B2＝sinC＝sin(A＋B)＝2sinA＋B2cosA＋B2，∴2cos2A＋B2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝π2，即△ABC为直角三角形．8.解析：选B由sinθ－cosθ＝22两边平方得，sin2θ＝12，又θ∈0，π2，且sinθcosθ，所以π4θπ2，所以π22θπ，因此，cos2θ＝－32，故选B.9.解析：选Bg(x)＝a2sin2x(a0)的最大值为12，所以a＝1，f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，令x＋π4＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ，k∈Z.故选B.10.解析：选B由题意得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝40，所以tanα0，tanβ0，所以－π2α0，－π2β0，－πα＋β0.又tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.所以α＋β＝－2π3.故选B.11.解析：选Aa＝cos45°sin17°＋sin45°cos17°＝sin62°，b＝cos26°＝sin64°，c＝sin37°cos23°＋cos37°sin23°＝sin60°，故cab.12.解析：选Df(B)＝4sinBcos2π4－B2＋cos2B＝4sinB·1＋cosπ2－B2＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m2恒成立，∴2sinB＋1－m2恒成立，即m2sinB－1恒成立．∵0Bπ，∴0sinB≤1.∴－12sinB－1≤1，故m1.13.解析：因为sinα＝55，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.所以tanα＝sinαcosα＝－12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－11－14＝－43.答案：－4314.解析：由题意，sinA2＝14，∴cosA2＝154，∴tanA2＝1515.∴tanA＝2tanA21－tan2A2＝157.答案：15715.解析：由已知条件可得sinθ＋π4＝sin2θ，又θ∈π2，π，由三角函数图象可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin2θ＋π3＝sin13π6＝12.答案：1216.解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝22×1725＝17250.答案：1725017.解：因为cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sinθ＝－513，tanθ＝－512，所以sinθ－π6＝sinθcosπ6－cosθsinπ6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226，tanθ＋π4＝tanθ＋tanπ41－tanθtanπ4＝－512＋11－－512×1＝717.18.解：(1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋sinx－3π4＋π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0αβ≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.19.解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1，此时f(x)取得最大值，最大值为32.20.解：(1)f(x)＝sinx＋2sinπ4＋x2cosπ4＋x2＝sinx＋sinx＋π2＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.由f(α)＝22，得2sinα＋π4＝22，∴sinα＋π4＝12.∵α∈－π2，0，∴α＋π4∈－π4，π4.∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x∈π2，π，∴x2∈π4，π2.又∵sinx2＝45，∴cosx2＝35.∴sinx＝2sinx2cosx2＝2425，cosx＝－1－sin2x＝－725.∴f(x)＝sinx＋cosx＝2425－725＝1725.21.解：(1)f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cosx＋π4.所以f(x)的最小正周期为2π，值域为－22，22.(2)由(1)知f(α)＝22cosα＋π4＝3210，所以cosα＋π4＝35.所以sin2α＝－cosπ2＋2α＝－cos2α＋π4＝1－2cos2α＋π4＝1－1825＝725.22.解：(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.∴函数f(x)的最小正周期为π.∵f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，∴函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又∵f(x0)＝65，∴sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.∴cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.