二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程20(0)axbxca的两个不等实根为1x，2x①方程有两个不等正根00040,02121221acxxabxxacbxx②方程两根一正一负：0021acxx，则③方程有两个不等负根：00040,02121221acxxabxxacbxx即时应用：(1)若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个不等正根，求m的取值范围。(2)k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？二、一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程20(0)axbxca的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）如下表所示：根的分布①12xxk②12kxx③12xkx图象充要条件()020bkafkìDïïïïï-íïïïïïî()020bkafkìDïïïïï-íïïïïïî()0fk根的分布④1122kxxk⑤11223kxkxk⑥两根有且仅有一根在()12,kk内图象充要条件()()12120002fkfkbkkaìDïïïïïïïïíïïïï-ïïïïî123()0()0()0fkfkfkìïïïïíïï?ïî()()120fkfk?或1121()022fkkkbkaì=ïïïí+ï-ïïî或2122()022fkkkbkaì=ïïïí+ï-ïïîkkk2k1k2k1k3k2k1k即时应用：(1)若方程42x+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m的取值范围.(2)方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围.二、典型例题例1若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？例2若方程2(2)40xkx有两负根，求k的取值范围.例3..若关于x的方程2(2)210xkxk的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围例4.已知关于x的方程223230xxm的两根都在［－1，1］上.求实数m的取值范围.例5.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围拓展提升：已知集合2(2)10Axxax，若0AxRx，求x的取值范围高三·一部数学复习作业NO.91．对于二次函数xxy822，下列结论正确的是（）Ａ．当2x时，y有最大值8Ｂ．当2x时，y有最大值8Ｃ．当2x时，y有最小值8Ｄ．当2x时，y有最小值82．二次函数12axxy在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a的值为（）A．－2B．4C．310D．23．设函数axaaxxxf,(232)(2R）的最小值为m（a），当m（a）有最大值时a的值为（）A．34B．43C．98D．894．函数1)3(2)(2xaaxxf在区间,2上递减，则实数a的取值范围是（）A．[－3，0]B．3,C．0,3D．[－2，0]5．设二次函数)1(,0)(,)(2mfmfaxxxf则若的值为（）A．正数B．负数C．正、负不定，与m有关D．正、负不定，与a有关6．已知0)53()2(,2221kkxkxxx是方程（k为实数）的两实数根，则2221xx的最小值为（）A．19B．18C．955D．不存在7．设函数)0()(2acbxaxxf，对任意实数t都有)2()2(tftf成立，则函数值)5(),2(),1(),1(ffff中，最小的一个不可能是（）A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(5)8．一元二次方程0)2()1(22aax的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是9．函数1)(2axaxxf，若0)(xf在R上恒成立，则a的取值范围是10．函数2220fxaxaxba在2,3上有最大值5和最小值2，求,ab的值。11．(1)方程2240xax-+=的两根均大于1，求实数a的范围．(2)方程2240xax-+=的两根一者大于1，一者小于1求实数a的范围．(3)方程2240xax-+=的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a的范围．探究创新：已知2220Axxxp，且0AxRx，求p的取值范围