2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.13导数的应用(二)课件-

[知识能否忆起]一、函数的最值1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0)．不超过2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0)．不小于3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；极值(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．端点处的函数值f(a)、f(b)二、生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤[小题能否全取]1．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：f′(x)＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，∴m＝3，又f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴f(x)的最小值为－37.答案：A2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是()A．－9B．－16C．－12D．－11解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.答案：B3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0x9时，y′0；当x9时，y′0，则当x＝9时，y取得最大值．答案：C4．函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是________．解析：定义域为(－1，＋∞)．g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1，令g′(x)＝0，得x＝0，当－1x0时，g′(x)0；当x0时，g′(x)0，所以函数在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以x＝0是函数的极大值点，即当x＝0时f(x)取得最大值，最大值为g(0)＝0.答案：05．圆柱形饮料罐容积为V，当底面半径为________时，才能使所用材料最省．解析：设底面半径为r，则高h＝Vπr2，表面积设为S，则S＝2πr2＋2πr·Vπr2＝2πr2＋2Vr，又S′＝4πr－2Vr2，令S′＝0，得r＝3V2π，当0r3V2π时，S′0；当r3V2π时，S′0.所以S在0，3V2π上单调递减，在3V2π，＋∞上单调递增，所以r＝3V2π是函数的最小值点．答案：3V2π实际问题的最值问题有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．[例1]已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[自主解答](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.本题条件不变，求f(x)在区间[0,1]上的最大值．解：当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝(1－k)e.当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)和f(1)较大者．若f(0)＝f(1)，所以－k＝(1－k)e，即k＝ee－1.当1kee－1时函数f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e，当ee－1≤k2时，函数f(x)的最大值为f(0)＝－k，当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．所以f(x)在[0,1]上的最大值为f(0)＝－k.综上所述，当kee－1时，f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e.当k≥ee－1时，f(x)的最大值为f(0)＝－k.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．1．(2012·银川模拟)设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值．解：(1)f′(x)＝ax－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，∴f′1＝a－2b＝0，f1＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.(2)f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x2x，∵当1e≤x≤e时，令f′(x)0得1e≤x1；令f′(x)0，得1x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－12.[例2]已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R.(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x≥1时，f(x)≥0成立，求a的取值范围．[自主解答](1)当a＝－1时，f(x)＝x2lnx＋x2－1，f′(x)＝2xlnx＋3x.则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3，又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0.(2)f′(x)＝2xlnx＋(1－2a)x＝x(2lnx＋1－2a)，其中x≥1.当a≤12时，因为x≥1，所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(1)＝0.当a12时，令f′(x)＝0，得x＝ea－12.若x∈[1，ea－12)，则f′(x)0，所以函数f(x)在[1，ea－12)上单调递减．所以当x∈[1，ea－12)时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意．综上a的取值范围是－∞，12.1．求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域．2．参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用．(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，若x＝0，则f′(x)＝0；若x0，则1－ex0，所以f′(x)0；2．设函数f(x)＝12x2＋ex－xex.若x0，则1－ex0，所以f′(x)0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，所以m2－e2时，不等式f(x)m恒成立．[例3]已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝lnxx，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)＋12.[自主解答](1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－1x＝x－1x，∴当0x1时，f′(x)0，此时f(x)单调递减；当1xe时，f′(x)0，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明：由(1)知[f(x)]min＝1.又g′(x)＝1－lnxx2，∴当0xe时，g′(x)0，g(x)在(0，e]上单调递增．∴[g(x)]max＝g(e)＝1e12.∴[f(x)]min－[g(x)]max12.∴在(1)的条件下，f(x)g(x)＋12.利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．3．已知f(x)＝xlnx.(1)求g(x)＝fx＋kx(k∈R)的单调区间；(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．解：(1)g(x)＝lnx＋kx，∴令g′(x)＝x－kx2＝0得x＝k.∵x0，∴当k≤0时，g′(x)0.∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当k0时g′(x)0得xk；g′(x)0得0xk，∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．(2)证明：设h(x)＝xlnx－2x＋e(x≥1)，令h′(x)＝lnx－1＝0得x＝e，h(x)，h′(x)的变化情况如下：x1(1，e)e(e，＋∞)h′(x)－1－0＋h(x)e－2↘0↗故h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.[例4](2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[自主解答]设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．4．(2011·福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2