2016朝阳区高三理科数学期末试题及答案

开始m=1,i=1m=m(2-i)+1i=i+1m=0?结束输出i是否北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2016．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合|11Mxx，|01xNxx，则MNA．|01xxB．|01xxC．|0xxD．|10xx2．复数i(1i)z（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A．(1,1)B．(1,1)C．(1,1)D．(1,1)3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为A．3B．4C．5D．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试8090100110120130车速（km/h）频率组距0.0050.0100.0200.0300.035估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆第4题图5．“1a”是“函数()cosfxaxx在R上单调递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点)0,22(Q及抛物线24xy上一动点(,)Pxy，则yPQ的最小值是A．12B．1C．2D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A．27B．30C．32D．36第7题图8．设函数()fx的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意xD，都有()()fxmfx，则称()fx为D上的“m型增函数”．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxxaa（aR）．若()fx为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是A．0aB．5aC．10aD．20a第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．343正视图侧视图俯视图9．函数2sin(2)16yx的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件2211xyxyy≤，≥，≤，则zxy的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{}na中，若22a=，则132aa+的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知BA,为圆9)()(:22nymxC(,mnR)上两个不同的点（C为圆心），且满足||25CACB，则AB．14．已知点O在ABC的内部，且有xOAyOBzOC0，记,,AOBBOCAOC的面积分别为AOBBOCAOCSSS，，．若1xyz，则::AOBBOCAOCSSS；若2,3,4xyz，则::AOBBOCAOCSSS．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图，在ABC中，点D在BC边上，7,42CADAC，2cos10ADB．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若5,BD求ABD的面积．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ADBCFBDCPEAABCD是菱形，且60DAB．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PAPDAD，且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()lnfxaxx,其中aR．（Ⅰ）若()fx在区间[1,2]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当ea时，（ⅰ）证明：()20fx；（ⅱ）试判断方程ln3()2xfxx是否有实数解，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知圆:O221xy的切线l与椭圆:C2234xy相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OAOB；（Ⅲ）求OAB面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)kaaaakkN的各项均为正数，且满足条件：①1kaa；②11212(1,2,3,,1)nnnnaankaa．（Ⅰ）若13,2ka，求出这个数列；（Ⅱ）若4k，求1a的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求1a的最大值（用k表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．1一、选择题：（满分40分）题号12345678答案ADBDACAB二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案π，14421241:1:14:2:3（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则1203373731049().60CCCCPAC所以选出的3名同学来自班级的概率为4960．……………………………5分（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24CCPXC；123731021(1)40CCPXC；21373107(2)40CCPXC；30373101(3)120CCPXC．所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120随机变量X的数学期望721719()012324404012010EX．…………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2cos10ADB，所以72sin10ADB．又因为4CAD，所以4CADB．所以sinsin()sincoscossin444CADBADBADB7222241021025．………………………7分（Ⅱ）在ACD中，由ADCACCADsinsin，得74sin2522sin7210ACCADADC．所以1172sin22572210ABDSADBDADB．…………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB面PCD，CD面PCD，所以AB∥面PCD．又因为,,,ABEF四点共面，且平面ABEF平面PCDEF，所以AB∥EF．………………………5分（Ⅱ）取AD中点G，连接,PGGB．因为PAPD，所以PGAD．又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PG平面ABCD．所以PGGB．在菱形ABCD中，因为ABAD，60DAB，G是AD中点，所以ADGB．如图，建立空间直角坐标系Gxyz．设2PAPDADa，则(0,0,0),(,0,0)GAa，(0,3,0),(2,3,0),(,0,0),(0,0,3)BaCaaDaPa．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以33(,,)22aaEa，3(,0,)22aaF．所以33(,0,)22aaAF，3(,,0)22aaEF．zyxGAEPCDBF设平面AFE的法向量为(,,)xyzn，则有0,0.AFEFnn所以3,3.3zxyx令3x，则平面AFE的一个法向量为(3,3,33)n．因为BG平面PAD，所以(0,3,0)GBa是平面PAF的一个法向量．因为313cos,13393GBaGBaGBnnn，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为1313．……………………13分18．（本小题满分14分）解：函数()fx定义域),0(x，1()fxax．（Ⅰ）因为()fx在区间[1,2]上为增函数，所以()0fx在[1,2]x上恒成立，即1()0fxax，1ax在[1,2]x上恒成立，则1.2a………………………………………………………4分（Ⅱ）当ea时，()elnfxxx,e1()xfxx．（ⅰ）令0)(xf，得1ex．令()0fx,得1(0,)ex，所以函数)(xf在1(0,)e单调递增．令()0fx,得1(,)ex，所以函数)(xf在1(,)e单调递减．所以，max111()()eln2eeefxf．所以()20fx成立．…………………………………………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，max()2fx，所以2|)(|xf．设ln3(),(0,).2xgxxx所以2ln1)(xxxg．令0)(xg，得ex．令()0gx,得(0,e)x，所以函数)(xg在(0,e)单调递增，令()0gx,得(e,)x，所以函数)(xg在(e,)单调递减；所以，maxlne313()(e)2e2e2gxg，即2)(xg．所以)(|)(|xgxf，即|)(|xfln32xx．所以，方程|)(|xfln32xx没有实数解．……………………………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a，243b，所以22283cab．所以63cea．所以椭圆C的离心率为63．…………………………3分（Ⅱ）若切线l的斜率不存在，则:1lx．在223144xy中令1x得1y．不妨设(1,1),(1,1)AB，则110OAOB．所以OAOB．同理，当:1lx时，也有OAOB．若切线l的斜率存在，设:lykxm，依题意211mk，即221km．由2234ykxmxy，得222(31)6340kxkmxm．显然0．设11(,)Axy，22(,)Bxy,则122631kmxxk，21223431mxxk．所以2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxm.所以1212OAOBxxyy221212(1)()kxxkmxxm22222346(1)3131mkmkkmmkk2222222(1)(34)6(31)31kmkmkmk22244431mkk2224(1)44031kkk．所以OAOB．综上所述，总有OAOB成立．………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为OAB的高，当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB．则1OABS.当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，221212(1)[()4]ABkxxxx222226341()43131kmmkkk222222219(34)(31)31kkmmkk2222222221211234123(1)43131kkkmkkkk222219131kkk．所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961