2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

智浪教育-普惠英才2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案(考试时间:2010年9月4日9：00—11：30)题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分；2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不能使用计算器.一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()24fxxxx的值域是__________________________.2.函数y_____________________的图象与xye的图象关于直线1xy对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.4.设椭圆22111xytt与双曲线1xy相切，则t__________________________.5.设z是复数，则|1||||1|zziz的最小值等于__________________________.6.设a，b，c是实数，若方程320xaxbxc的三个根构成公差为1的等差数列，则a，b，c应满足的充分必要条件是__________________________.7.设O是ABC的内心，5AB，6AC，7BC，OPxOAyOBzOC，0,,1xyz，动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________.二、解答题（共86分）9.（20分）设数列na满足10a，121nnaa，2n.求na的通项公式.智浪教育-普惠英才10.（22分）求最小正整数n使得224nn可被2010整除.11.（22分）已知ABC的三边长度各不相等，D，E，F分别是A，B，C的平分线与边BC，CA，AB的垂直平分线的交点.求证：ABC的面积小于DEF的面积.12.（22分）桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准智浪教育-普惠英才一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：425,8.提示：因04x，设22cosx（0），则4cos2sin425cos()4y（其中2cos5，1sin5，为锐角），所以当0时，max8y，当时，min425y，故425,8y.2.答案：1ln(1)x提示：因两函数图象关于直线1xy对称，所以1xy，1yx，∴11yxe，解得1ln(1)yx.3.答案：13提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍.∵tan2，∴2211cos1tan3，则21cos22cos13.4.答案：5提示：由椭圆方程22111xytt知，1t，设其参数方程为1cos1sinxtyt（为参数）代入双曲线方程1xy，得22sin21t.因两曲线相切，∴2211t，故5t.5.答案：13提示：在复平面上，设(1,0)A，(1,0)B，(0,1)C，则当Z为ABC的费马点时，|1||||1|zziz取得最小值，最小值为32323113333.6.答案：213ab且3273aac.智浪教育-普惠英才提示：设三个根为1，，1，则32(1)()(1)xaxbxcxxx，右边展开与左边比较得3a，2(1)(1)(1)(1)31b，(1)(1)c，消去得2313273abaac，这就是所求的充要条件.7.答案：126提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC面积的2倍，即126.8.答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C个三角形，其中直角三角形有3412C个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267CC.二、解答题（共86分）9.解：特征根法.又114221nnnaaa，11111nnnaaa，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnnnnnnaaaaaa，于是(2)2(2)1nnna.………………（20分）10.解：22010|24nn2222240mod2240mod3240mod5240mod67nnnnnnnn2220mod31mod543mod67nnnnnn…………（10分）又20mod30nnn或2mod3，智浪教育-普惠英才21mod52mod5nnn，243mod6710nnn或56mod67，故所求最小正整数77n.…………（22分）11.证明：由题设可证A，BC，D，E，F六点共圆.…………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin2sin2sin2)2ABCSABC，1(sinsinsin)2DEFSABC.由于sin2sin2sin2ABC111(sin2sin2)(sin2sin2)(sin2sin2)222ABBCCAsin()sin()sin()sin()sin()sin()ABABBCBCCACAsin()sin()sin()ABBCCAsinsinsinABC∴ABC的面积小于DEF的面积.…………（22分）12.解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n从小到大排序为：1n，2n，3n，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8.下面我们用数学归纳法证明：（1）in满足11iiinnn；（2）当inn时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1in；（3）当1iinnn时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目in.……………………………………（10分）设iknn（4i），注意到212iiinnn.当12ink时，甲第一次时可取k根火柴，剩余2ink根火柴，乙无法获胜.当12iinkn时，21iinkn，根据归纳假设，甲可以取到第k根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2in，剩余22iinn根火柴，乙无法获胜.当1ikn时，设甲第一次时取走m根火柴，若mk，则乙可取走所有剩小的火柴；若mk，则根据归纳假设，乙总可以取到第k根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2in，智浪教育-普惠英才剩余22iinn根火柴，甲无法获胜.综上可知，11iiinnn.因为100不在数列in，所以当100n时，甲有获胜策略.…………（22分）