［初中数学竞赛讲座］平面图形的面积

竞赛讲座(26)-平面图形的面积1.关于面积的两点重要知识(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方例1(第2届美国数学邀请赛题)如图40-1，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49.求△ABC的面积.解设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积;c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长.那么，由四个三角形相似，得(2)两边夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题.例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图40-2)，已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟;Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟;问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小?解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0p设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.①②③④①+③得,②+④得,当t=′有极小值.答:经过秒后,四边形PQRS面积最小.下面是一个用不等式来证明相等问题的例子.例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2那么PQRS是正方形并且O是它的中心.证明如图40-3，按题设有此处无图p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rsinγ+spsinδ≤pq+qr+rs+sp①依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号.由①取等号有由②取等号有p=q=r=s因此PQRS是正方形,O是它的中心.2.等积变换与面积法等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题.例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等.证明如图:连ME、NC.∵S△NME=S△CEM，∴ME∥NC.若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得.这样，则N为BE中点.又同理可证例5(第9届全俄中学竞赛题)如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求△CFD和△ABE的面积比.解连AF.∵CF：FG：GE=2：2：3，∴S△CFD：S△DFG：S△DEG=2：2：3.S△CFD=S,则S△FDG=S，S△DGF=S.又BF：FD=5：4，∴S△BEF:S△FDE=5：4.∴S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S又由BF：FD=5：4，∴S△ABF:S△AFD=5：4.∴S△ABE=SABFE-S△BFE=(S△ABF+S△AFG+S△AGE)-S△BFE=5S-S=S(∵AG:GD=1:1).即S△CFD:S△ABE=8:15.例6六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a)),求此六边形的面积.分析如果连OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出S△AOB=S△BOC=S△COD，S△DOE=S△EOF=S△FOA.=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOE+S△EOF+S△FOA.从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形A′B′C′D′E′F′,其中,⊙O与⊙O′为等圆,且A′F′=B′C′=D′E′=1,A′B′=C′D′=E′F′=把A′B′,C′D′,E′F′分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b)),容易证明∠B′A′F′=120°等,从而△MNP为等边三角形.例7(1962年上海竞赛题)已知△ABC∽△A′B′C′如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A′、B′、C′到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2S△ABC.分析欲证上述结论，只须证S△ABC+S△B′CA+S△C′AB=S△ABC.我们试想,当△A′B′C收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将△A′B′C′逐渐“收缩”为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持△A′BC面积不变，我们试用“等积”工具，设法使A′沿平行于BC的直线运动，同样B′、C′分别沿着平行于CA、AB的直线运动.而这三条分别平行于BC、CA、AB的直线如能共点，即反映△A′B′C′可收缩为一点.证明分别过B′，C′作直线B′D∥CA，C′D∥BA，直线C′D交B′D于D、交BC于E.则∠C′DB′=∠BAC，又△ABC∽△A′B′C′，∴△∠B′A′C′=∠BAC=∠C′D′B′.这说明C′、D′、A′、B′四点共圆，∴∠A′DC′=A′B′C′=∠ABC=∠DEC，∴A′D∥BC.过D分别作DL⊥BC于L，DM⊥CA于M，DN⊥AB于N，连DA、DB、DC、则由DA′∥BC、DB′∥CA，DC′∥AB，得DL=l，DM=m，DN=n.于是la+mb+nc=DL·BC+DM·AC+DN·AB=2(S△DBC+S△DCA+S△DAB)=2S△ABC.有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这就是所谓的“面积法”.例8(美国数学竞赛题)在一个给定的角O内，任决地给定一点P，过P作一直线交定角的两边于A、B两点(如图40-8)，问过P作怎样的直线才能使最大?解设∠OPB=θ，△OPA、△OPB的面积分别为S1、S2，则于是因此但，当θ=90°时,sinθ取得最大值1,因此当过P点的直线与OP垂直时,达到最大值3.杂题竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理.例9(1987年全俄中学生竞赛题)凸四边形ABCD的面积为S.K、L、M、N分别是AC、AD、BC和BD的中点.证明：SKLNM0.5S.证明设P、Q分别是AB、CD的中点(如图40-9).注意到PLQM、MKNL都是平行四边形，且SKLNM=S，因此，只须证明KLNM含于PLQM内.设PL、MQ分别交AC于E、F，则点K位于E、F之间.若不然，例如点K在线段AE上，则有AK≤AE，因EF=PM=AK=0.5AC，故有关系式AC=2AK=AK+EF≤AE+EFAC，矛盾.同理K也不能在F.C之间，于是K在PLQM内.同样可证N也在PLQM内，由此得SKLNMp例10(第20届全苏中学生竞赛题)M点在锐角△ABC的AC边上，作△ABM和△CBM的外接圆.问当M点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小?解设O、O1分别是△ABM和△CBM外接圆的圆心.两外接圆的公共部分面积是两个以BM为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小.注意到∠BOM=2∠BAM=常数.∠BO1M=2∠BCM=常数.因此，研究当弓形所对的圆心角固定时，弓形面积与弓形弦的关系.设圆心角为α，弓形弦长为b，那么弓形的面积为由此可见，上图中若BM越小，则每个弓形的面积越小、所以当BM是△ABC的高，即BM⊥AC，M为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小.例11设A、B为半径等于1的⊙O上任意两点，若过A、B的任意线段或曲线段L将⊙O面积平分，则L的长l必不小于2.证明若AB为⊙O的直径，且L为直线时，显然L将⊙O面积平分，这时l=2.若AB是⊙O的直径，L不是直线时，则lAB，即l2.若AB不是⊙O的直径，如图40-11，作平行于AB的直径MN，作A关于MN的对称点A′，A′必在⊙O上，连A′B，易知A′B为⊙O的直径.由曲线L平分⊙O知，L上必有点与A、B在MN的异侧.取这样的一点C，并连结AC、BC，AC交MN于D，连BD、A′D，则据此易证l≥AC′+BC′2.综上得l≥2，即L的长必不小于2.最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧——三角形的剖分.将任意△ABC的三边BC、CA、AB分别分成n等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将△ABC分成若干个全等的小三角形(如图40-12)的手续，叫做对△ABC进行剖分.究竟分成多少等分，则视需要而定.例12(1984年全国数学竞赛题)P为△ABC的边BC上任一点，作PE∥AB，PF∥AC.设△ABC的面积等于1.求证：△BPF、△PCE、四边形AFPE的面积中，至少有一个不小于证明如图40-13，作△ABC的剖分.这时每一个小三角形的面积均等于.显然，如果点P在线段BA1上变动时，△PCE完整地盖住了四个小三角形，因此△PCE的面积≥.对称地，如果点P落在线段A2C上，则△BPF的面积≥.余下的只须讨论点P在线段A1A2内变动的情形，利用平行线的基本性质可证.△FC2I≌△MA1P≌△NJG.这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积.又因为△EJ2B≌△NPA2≌△MGI，这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等.将四边形AFPE中△NJG剪下来再拼到△FC2I上;把△MGI剪下来再拼到△EB2J2上，我们看出：