［初中数学竞赛讲座］数学竞赛训练题三

数学竞赛训练题三一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.设函数如果那么的值等于()A.3B.7C.-3D.-72.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是()A.圆或椭圆B.椭圆或双曲线C.双曲线或抛物线D.抛物线或椭圆3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=()A，1B.-1C.2+D.-2+4.已知，定义，则()A.B.C.D.5.已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则()A.B.C.D.6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC()A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.8.如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a(3)a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9.设则关于的方程的所有实数解之和为10.若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为。12.对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题(每小题20分，共60分)13.已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15.数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n.数学竞赛训练题四答案一、选择题1.设函数如果那么的值等于()A.3B.7C.-3D.-7解：取，而当，所以，故选C.2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是()A.圆或椭圆B.椭圆或双曲线C.双曲线或抛物线D.抛物线或椭圆解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=()A，1B.-1C.2+D.-2+解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。4.已知，定义，则()A.B.C.D.解：计算可知是最小正周期为6的函数。即得，所以=，故选C.5.已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则()A.B.C.D.解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C.6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC()A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、填空题7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.答案：。由对称性只考虑y≥0，因为x0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。8.如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a(3)a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。9.设则关于的方程的所有实数解之和为答案：4解：令变形为可以发现函数是R上的减函数。又因为，从而关于的方程的解分别为0、1、3，10.若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.答案：。解：①若t2-40，即t-2或t2，则由x(|x|≤1)恒成立，得,t+1t2-4,t2-t-s0解得，从而T-2或2T，t+1-t2+4;t2+t-30，解得：t或t，从而Tt11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为。解：设直角三角形的三边为a,b,,则有=a+b+,,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0,(a-4)(b-4)=8,a,b都是正整数，a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。12.对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)0，因t≤-4，故-(t+2)0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，……，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t≤4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。三、解答题：13.已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以≥。当a=b=2c0时等号成立。故k的最小值为100。14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ==1+r。所以x=±,∴tan∠MAN=，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由(1)(2)式，得m=0,k=0，由(3)式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0,0),r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。15.数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n.解由题设易知，.又由，可得，当n为偶数时，;当是奇数时，.由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数.于是依次可得：，是偶数，，是奇数，，是偶数，，是奇数，，是偶数，，是偶数，，是奇数，，是偶数，，是奇数，，是偶数，，所以，，解得，n=238.