2005年南昌市高中数学竞赛试题

2005年南昌市高中数学竞赛试题（7月2日上午8：30-11：30）题号一二三四五总分得分（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解答题：凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答题）一、选择题（每小题6分，共36分）1．①（高一）设集合A，B，C满足：A∪CRB=A∪CRC，则必成立（）A、B=CB、A∩B=A∩CC、CRA∩B=CRA∩CD、A∩CRB=A∩CRC②（高二）点p（x,y）在直线x+2y=3上移动，则24xy的最小值是（）A、6B、8C、32D、422．①（高一）等比数列{na}各项为正数，且24463529aaaaaa，则35aa的值为（）A、3B、6C、9D、12②（高二）若直线y=x+t与椭圆2214xy相交于A、B两点，当t变化时，|AB|的最大值是（）A、2B、455C、4105D、81053.①（高一）.若ABC的两个较小内角A，B满足4422sincos1cossinAABB，则有（）A、A+B90°B、A+B90°C、A+B=90°D、以上情况均有可能②（高二）四棱锥P-ABCD的底面是单位正方形，侧棱PB垂直于底面，且PB=3，记θ=∠APD，则sinθ=（）A、22B、33C、55D、664.若向量(23,)aa与31,3bb相互垂直，且长度相等，则a+b的值是（）A、3B、31C、31D、31或315.20052005被9除得的余数是（）A、1B、3C、5D、76.用红、黄、蓝三种颜色涂33表格的每一个格子,使满足：①每行三色都有②每列三色都有，③邻格(有公共边的每两个格)不同色。则不同的涂色方法种数为（）A、12B、18C、24D、27二、填空题（每小题9分，共54分）1.①（高一）设函数2()log(21)xfx，则使1(2)()fxfx成立的x的值是。②（高二）若椭圆221259xy上存一点p，到左准线的距离为5，则p到右焦点的距离是。2.①（高一）首项为3，公差为2的等差数列，前n项和为nS，则122005111...SSS=。②（高二）210(135)xx的展开式中，各项系数的绝对值之和为。3.①（高一）ABC中，若sin:sin:sin4:5:6ABC，则cosA：cosB：cosC=。②（高二）若20xxa与20()xxbab的四个根组成公差为15等差数列，则a+b=。4.直角三角形三边长为整数，斜边长为39，则其面积为。5.函数sin28sincos3xyxx的值域为。6．n个连续正整数的和等于3000，则满足条件的n的取值构成集合{}。（第三、四、五题解答过程可写在试卷反面）三、（20分）证明：集合M=1,2,3,...2005nnn中的每个元素皆可表为该集合中另两个不同元素的乘积。四、（20分）ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，M是EF上的一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC。五、（20分）给定无理数a、b，证明：满足方程13xay+3aaxy=b的整数x,y至多只有一组。2005年南昌市高中数学竞赛试卷答案一、选择题（每小题6分，共36分）（高一）CACDDA（高二）DCCDDA二、填空题（每小题9分，共54分）1．（高一）1；（高二）62．（高一）1111(1)2220062007；（高二）1093．（高一）12：9：2；（高二）254．2705．[-3-2，-3+2]6．{1，3，5，15，16，25，48，75}三、（20分）证明：对每个正整数n，考虑满足.200520052005nxynxy的正整数x,y由于(2005)2005(2005)xnyxyn利用比例的性质(2005)2005(2005)(2005)xnyynny所以(2005)nyxyn，取y=2n，则x=2n+2005显然，x,y,n彼此不同。（或者取y=n+1，则x=n（n+2006））四、（20分）证：设N，K分别是DF、DE的中点，则Rt⊿BFN∽Rt⊿DEM，12DFBFFNDEMEMENKMDEFBCARt⊿CEK∽Rt⊿DFM，12DECEEKDFFMFM∴BF•ME=12DF•DE=CE•FM∴BFCEFMEM，而∠BFM=∠CEM∴⊿BFM∽⊿CEM，于是∠BFM=∠CME五、（20分）证明：如果b0，显然方程无整数解，只需考虑b0情况。反证法，设有两组整数x,y与x1，y1都满足方程，则13xay+3aaxy=1113xay+113aaxy去掉绝对值并将各项的符号“+1”或“－1”分别用m，n，m1，n1表示，则上式化为：13mxay+3anaxy=113mxay+13anaxy即：11111111111133mxmxnynymmnxnxmymynna此式左端为有理式，右端为无理式，故应分别为0，因此有1111113mxmxnynymm…①1111113nxnxmymynn…②由于m1-m以及n-n1只能取2，-2，0，故必须都为0，否则将导致左端为整数，右端为既约真分数，矛盾。∴m1=m，n=n1①、②化为：11()()0mxxnyy…③11()()0nxxmyy…④将③式乘以m，④式乘以n，然后相加得221()()0mnxx即12()0xx∴1xx据此又得y=y1这与假设x,y与x1，y1是两组不同整数矛盾。从而结论成立。