2009年上海高考数学（文）试题

上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.1．【答案】31x【解析】由y＝x3+1，得x＝31y，将y改成x，x改成y可得答案。2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是__________________.[来源:Z#xx#k.Com]2．【答案】a≤1[来源:学科网]【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。3.若行列式4175xx389中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是__________________.[来源:Z。xx。k.Com]3．【答案】83x【解析】依题意，得：(-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x[来源:Z§xx§k.Com]4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________________.4．【答案】2,12,1xxyxx【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝x2，所以，有分段函数。5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是___________________w.w.w.zxxk.c.o.m(结果用反三角函数值表示).5．【答案】arctan5【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。6.若球O1、O2表示面积之比421SS，则它们的半径之比21RR=_____________.w.w.w.zxxk.c.o.m6．【答案】2【解析】由222144RR＝4，得21RR＝2。7.已知实数x、y满足223yxyxx则目标函数z=x-2y的最小值是___________.w.w.w.zxxk.c.o.m7．【答案】－9【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：xy21－z，画直线xy21及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是。w.w.w.zxxk.c.o.m8．【答案】83【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝2431＝839．过点A（1，0）作倾斜角为4的直线，与抛物线22yx交于MN、两点，则MN=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9．【答案】26【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线22yx，得：x2－4x＋1＝0，1x＋2x＝4，1x2x＝1，则221221)()(||yyxxMN＝221)(2xx＝]4)[(221221xxxx＝2610.函数2()2cossin2fxxx的最小值是。10．【答案】12[来源:Z|xx|k.Com]【解析】()cos2sin212sin(2)14fxxxx，所以最小值为：1211.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）。11．【答案】57w.w.w.zxxk.c.o.m【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：35C，概率为:：723735CC，所以，均不少于1名的概率为：1－7572。12.已知12F、F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且12PFPF。若12PFF的面积为9，则b.w.w.w.zxxk.c.o.m12．【答案】3【解析】依题意，有2222121214||||18||||2||||cPFPFPFPFaPFPF，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。13.已知函数()sintanfxxx。项数为27的等差数列{}na满足,,22na且公差0d,若1227()()...()0fafafa，则当k=时，()0.kfa。13．【答案】14【解析】函数xxxftansin)(在()22，是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为142622712aaaaa，w.w.w.zxxk.c.o.m所以12722614()()()()()0fafafafafa，所以当14k时，0)(kaf.14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。14．【答案】（3，3）【解析】设发行站的位置为,xy，零售点到发行站的距离为222231434566zxyxyyyxyxy，这六个点的横纵坐标的平均值为23324626，214356762，记A（2，27），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处z取得最小值。二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。15．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,lkxkylkxy与平行，则K得值是（）w.w.w.zxxk.c.o.m（A）1或3（B）1或5（C）3或5（D）1或215、【答案】C【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：kk43＝k－3，解得：k＝5，故选C。16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（）16、【答案】B【解析】从正面看，应看到直角边为3的顶点，而高为4，故正视图应为B。[来源:学|科|网Z|X|X|K]17．点P（4，－2）与圆224xy上任一点连续的中点轨迹方程是[答]（）（A）22(2)(1)1xy（B）22(2)(1)4xy[来源:Z#xx#k.Com]（C）22(4)(2)4xy（D）22(2)(1)1xy17、【答案】A【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则2224tysx，解得：2242ytxs，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1xy18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是[答]（）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4.（B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0.（C）丙地：中位数为2，众数为3.（D）丁地：总体均值为2，总体方差为3.18、【答案】D【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分14分）已知复数zabi（a、bR）(I是虚数单位)是方程2450xx的根.复数3wui（uR）满足25wz，求u的取值范围.w.w.w.zxxk.c.o.m19.解：原方程的根为1,22xi,2abRziQ、w.w.w.zxxk.c.o.m2(3)(2)(2)42526wzuiiuuQ20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.[来源:学科网]已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量(,)mab，(sin,sin)nBA，(2,2)pba.（1）若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；w.w.w.zxxk.c.o.m（2）若m⊥p，边长c=2，角C=3，求ΔABC的面积.20题。证明：（1）//,sinsin,mnaAbBuvvQ即22ababRR，其中R是三角形ABC外接圆半径，abABC为等腰三角形[来源:学科网]解（2）由题意可知//0,(2)(2)0mpabbauvuv即abab由余弦定理可知，2224()3ababababw.w.w.zxxk.c.o.m2()340abab即4(1)abab舍去11sin4sin3223SabC21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.有时可用函数0.115ln,6,()4.4,64axaxfxxx　　　　　　w.w.w.zxxk.c.o.m描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（*xN），()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f(x)总是下降；w.w.w.zxxk.c.o.m（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.21题。证明（1）当7x时，0.4(1)()(3)(4)fxfxxx[来源:学_科_网]而当7x时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)0xx故函数(1)()fxfx单调递减w.w.w.zxxk.c.o.m当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降(2)有题意可知0.115ln0.856aa整理得0.056aea解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1eae…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F30，，一条渐近线m:x+20y,设过点A(32,0)的直线l的方向向量(1,)ekv。（1）求双曲线C的方程；w.w.w.zxxk.c.o.m（2）若过原点的直线//al，且a与l的距离为6，求K的值；（3）证明：当22k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.22．【解】（1）设双曲线C的方程为222(0)xy32，解额2双曲线C的方程为2212xy（2）直线:320lkxyk，直线:0akxy由题意，得2|32|61kk，解得22k（3）【证法一】设过原点且平行于l的直线:0bkxy则直线l与b的距离232||,1kdk当22k时，6d又