2012年上海市高中数学竞赛

2012年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形111111ABCDEF的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222ABCDEF,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是.2.已知正整数1210,,,aaa满足:3,1102jiaija,则10a的最小可能值是.3.若17tantantan6，4cotcotcot5,cotcot[来源:学#科#网]17cotcotcotcot5，则tan.4．已知关于x的方程lg2lg1kxx仅有一个实数解，则实数k的取值范围是.5．如图，AEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形，已知90AEF，,,AEaEFbab，则x.6．方程1233213mnnm的非负整数解,mn.7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.（用数字作答）8．数列na定义如下：1221211,2,,1,2,22nnnnnaaaaannn.若201122012ma，则正整数m的最小值为.F2E2D2C2B2A2E1F1B1A1C1D1FBDACE二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，ABx，1BC，对角线AC与BD的夹角45BOC，记直线AB与CD的距离为()hx．求()hx的表达式，并写出x的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a，求函数(sin)(4sin)()1sinaxxfxx的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,xyz满足94xyzxyyzzx，求证：（1）43xyyzzx；（2）2xyz．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n，记()fn为集合1,2,,21n的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a）1,21nAA；（b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f的值；（2）求证：(100)108f．2012年上海市高中数学竞赛答案1、9342、923、114、,045、222()aaab6、3,0,2,27、258、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OBOCABBCx．①…………………（2分）在△OBC中，由余弦定理2222cosBCOBOCOBOCBOC，所以2221OBOCOBOC，②由①，②得2122xOBOC．③…………………（5分）所以144sin2ABCDOBCSSOBOCBOC2OBOC212x，故()ABhx212x，所以21()2xhxx．…………………（10分）由③可得，210x，故1x．因为222OBOCOBOC，结合②，③可得2211(1)2222xx，解得（结合1x）121x．综上所述，21()2xhxx，121x．…………………（14分）10．解(sin)(4sin)3(1)()1sin21sin1sinaxxafxxaxx．当713a时，03(1)2a，此时3(1)()1sin223(1)21sinafxxaaax，且当sin3(1)11,1xa时不等式等号成立，故min()23(1)2fxaa．…………………（6分）当73a时，3(1)2a，此时“耐克”函数3(1)aytt在0,3(1)a内是递减，故此时min3(1)5(1)()(1)2222aafxfa．综上所述，min723(1)2,1;3()5(1)7,.23aaafxaa…………………（14分）11．证（1）记3xyyzzxt，由平均不等式33223()()()3xyyzzxxyzxyyzzx．…………………（4分）于是324993xyzxyyzzxtt，所以2323320ttt，而23320tt，所以320t，即23t，从而43xyyzzx．…………………（10分）（2）又因为2()3()xyzxyyzzx，所以2()4xyz，故2xyz．…………………（16分）12．解（1）设集合31,2,,21A，且A满足（a），（b）．则1,7AA．由于1,,72,3,,6mm不满足（b），故3A．又1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足（b），故4A．而集合1,2,4,6,7满足（a），（b），所以(3)5f．…………………（6分）（2）首先证明(1)()2,3,4,fnfnn．①事实上，若1,2,,21nA，满足（a），（b），且A的元素个数为()fn．令1122,21nnBA，由于12221nn，故()2Bfn．又111222(21),211(22)nnnn，所以，集合11,2,,21nB，且B满足（a），（b）．从而(1)()2fnBfn．…………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,fnfnnn．②事实上，设1,2,,21nA满足（a），（b），且A的元素个数为()fn．令222(21),2(21),,2(21),21nnnnnBA，由于222(21)2(21)2(21)21nnnnn，所以21,2,,21nB，且()1Bfnn．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1knknknkn，2212(21)(21)nnnn，从而B满足（a），（b），于是(2)()1fnBfnn．…………………（14分）由①，②得(21)()3fnfnn．③反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151fff(12)12377(6)6192ff(3)3199108f．…………………（16分）