2013高考数学精讲精练第03章 三角函数B

2013高中数学精讲精练第三章三角函数B第5课三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]，正切函数在(,)22上的性质；2.了解函数sin()yAx的实际意义，能画出sin()yAx的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】1.已知简谐运动()2sin()()32fxx的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T_____6____；初相__________．2.三角方程2sin(2－x)=1的解集为_______________________．3.函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4.要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin(sincos)fxxxx．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin(sincos)fxxxx的图像可由sinyx的图像经过怎样变换而得到．分析：化为sin()Ax形式．解：（I）由xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)(2)42sin(21)4sin2cos4cos2(sin21xxx．6{2,}3xxkkZ)48sin(4xy第3题列表，取点，描图：x83888385y1211211故函数)(xfy在区间]2,2[上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sinyx图像上所有点向右平移4个单位，得到sin()4yx的图像，再把sin()4yx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4yx的图像，然后把sin(2)4yx的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4yx的图像，再将2sin(2)4yx的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4yx的图像．解法二：把sinyx图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin2yx的图像，再把sin2yx图像上所有点向右平移8个单位，得到sin(2)4yx的图像，然后把sin(2)4yx的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4yx的图像，再将2sin(2)4yx的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4yx的图像．例2.已知正弦函数sin()yAx(0,0)A的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式1()fx；（2）求与1()fx图像关于直线8x对称的曲线的解析式2()fx；（3）作出函数12()()yfxfx的图像的简图．2x=8y分析：识别图像，抓住关键点．解：（1）由图知，2A，22(62)16，8，即2sin()8yx．将2x，2y代入，得2sin()24，解得4，即1()2sin()84fxx．（2）设函数2()fx图像上任一点为(,)Mxy，与它关于直线8x对称的对称点为(,)Mxy，得8,2.xxyy解得16,.xxyy代入1()2sin()84fxx中，得2()2sin()84fxx．（3）12()()2sin()2sin()2cos84848yfxfxxxx，简图如图所示．点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．【反馈演练】1．为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像，只需把函数2sinyx，xR的图像上所有的点①向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象向右平移__3__个单位长度．24xyO－4123．若函数()2sin()fxx，xR（其中0，2）的最小正周期是，且(0)3f，则__2____；__________．4．在2,0内，使xxcossin成立的x取值范围为____________________．5．下列函数：①sin6yx；②sin26yx；③cos43yx；④cos26yx．其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数bxAy)sin(（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030℃（2）图中从6时到14时的图象是函数bxAy)sin(的半个周期∴614221，解得8由图示，10)1030(21A20)3010(21b这时，20)8sin(10xy将10,6yx代入上式，可取43综上，所求的解析式为20)438sin(10xy（]14,6[x）7．如图，函数π2cos()(00)2yxxR，，≤≤的图象与y轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点π02A，，点P是该函数图象上一点，点00()Qxy，是PA的中点，当032y，0ππ2x，时，求0x的值．解：（1）将0x，3y代入函数2cos()yx得3cos2，第6题35,44第5题yx3OPA第7题因为02≤≤，所以6．又因为该函数的最小正周期为，所以2，因此2cos26yx．（2）因为点02A，，00()Qxy，是PA的中点，032y，所以点P的坐标为0232x，．又因为点P在2cos26yx的图象上，所以053cos462x．因为02x≤≤，所以075194666x≤≤，从而得0511466x或0513466x．即023x或034x．第6课三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sinyx，cosyx，tanyx的性质，进一步学会研究形如函数sin()yAx的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）sin3xy的定义域是______________________________；（2）sin2cosxyx的定义域是____________________．2．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是____________．3．函数22sinsin44fxxx（）（）（）的最小正周期是_______．4.函数y=sin(2x+3)的图象关于点_______________对称．5.已知函数tanyx在（－2，2）内是减函数，则的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域：（1）sin2sin1tanxyxx；（2）122logtanyxx．解：（1）,2tan0,2sin10.xkxx即,2,722.66xkxkkxk，故函数的定义域为7{2266xkxk且,xk,}2xkkZ（2）122log0,tan0.xx即04,.2xkxk故函数的定义域为(0,)[,4]2．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间：（1）sin(2)3yx；（2）2cossin()42xyx；{663,}xkxkkZ{,}2xxkkZ（3，0）10解：（1）因为222232kxk，故原函数的单调减区间为5[,]()1212kkkZ．（2）由sin()042x，得{2,}2xxkkZ，又2cos4sin()24sin()42xxyx，所以该函数递减区间为3222242xkk，即5(4,4)()22kkkZ．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．例3．求下列函数的最小正周期：（1）5tan(21)yx；（2）sinsin32yxx．解：（1）由函数5tan(21)yx的最小正周期为π2，得5tan(21)yx的周期2T．（2）sin()sin()(sincoscossin)cos3233yxxxxx213131cos2sincoscossin222422xxxxx31sin(2)423xT．点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()Ax的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数xxy24cossin的最小正周期为_____________．22．设函数()sin()3fxxxR，则()fx在[0,2]上的单调递减区间为___________________．3．函数()sin3cos([,0])fxxxx的单调递增区间是________________．4．设函数()sin3|sin3|fxxx，则()fx的最小正周期为_______________．5．函数22()cos2cos2xfxx在[0,]上的单调递增区间是_______________．6．已知函数π12cos24()πsin2xfxx．（Ⅰ）求()fx的定义域；（Ⅱ）若角在第一象限且3cos5，求()f．解：（Ⅰ）由πsin02x得ππ2xk，即ππ2xk()kZ．故()fx的定义域为π|π2xxkkRZ，．（Ⅱ）由已知条件得2234sin1cos155．从而π12cos24()πsin2fππ12cos2cossin2sin44cos21cos2sin22cos2sincoscoscos142(cossin)5．7．设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调增区间；[,0]632[,]32[,]63，75[,]63（Ⅲ）画出函数)(xfy在区间],0[上的图像奎屯王新敞新疆解：（Ⅰ）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，,1)82sin(