2013全国初中数学竞赛试题参考答案广东省

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案（广东省3月17日复试）一．选择题（5×7'=35'）1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是()．A．0B．1C．3D．5【分析】5n时，n！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3.本题选C．2.已知关于x的不等式组xtxxx235352恰好有5个整数解，则t的取值范围是()．2116.tA2116.tB2116.tC2116.tD【分析】2023235352xtxtxxx，则5个整数解是15,16,17,18,19x．注意到15x时，只有4个整数解．所以2116152314tt，本题选C3.已知关于x的方程xxxaxxxx22222恰好有一个实根，则实数a的值有()个．A．1B．2C．3D．4【分析】422222222xxaxxxaxxxx，下面先考虑增根：ⅰ）令0x，则4a，当4a时，0,1,022212xxxx（舍）；ⅱ）令2x，则8a，当8a时，2,1,0422212xxxx（舍）；再考虑等根：ⅲ）对04222axx，270)4(84aa，当21,272,1xa.故27,8,4a，21,1,1x共3个.本题选C．4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()．A．3B．4C．5D．6【分析】设ABC底边BC上的高为h，则DECFCFBCh121244848，)(2121212121hhDEhDEhDESSBDEADE本题选D．6122121DEDEhDE5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是()．41.A92.B185.C367.D【分析】9236811291214CCCP本题选B．二．填空题（5×7'=35'）6.设33a，b是a2的小数部分，则3)2b（的值为．【分析】考虑到33a，则33333332292,29,327982，93bba则9)9()2333b（7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是．【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612，而总次数是666次，则其概率为31666612P.8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为．【分析】先消去c，再配方估算．24166)8()121(621662222babbaa观察易知上式中3a，故3,2,1a，经试算，2,1a时，b均不是整数；当3a时，11,5b，于是有)61,11,3(),13,5,3(),,(cba，故201361113maxabc．9.实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为．【分析】由根与系数关系知bcddabdbadccba,,0，然后可得（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了支圆珠笔．【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则350,201374yxyx4125031820124201374yyxyyxyx令1441kyky，则kkkx7505)14(2503，又350yx，即523151350147505kkkkNk，207152414ky即他至少卖了207支圆珠笔．三．解答题（4×20'=80'）11．如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．直线131xy与y轴交于点D，求∠DBC-∠CBE．【分析】易知4)1(3222xxxy，)4,1()3,0()0,3(),0,1(DCBA，，，作EF⊥CO于F，连CE，易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形，则△CBE是直角三角形．分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义，即有31232tan31tanBCCE，OBOD，则从而可得∠DBC-∠CBE=45º．12．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点(不是端点)，满足CD⊥AB，DE⊥CO，E为垂足，若CE=10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长．【分析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，)10(1022rDEOECEDE，又rrDECECD10)10(10102222由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC、BC用相似或三角函数，易知rCDBDAD102①，而rBDAD2②令yBDxAD,，①/②即155210yxyrryxxy，显然有xy0，则10xy，即1051150yy，y为正整数，故9,8,7,6y，又x也为正整数，经逐一试算，仅当30,6xy这一组是正整数，故30AD.13．设a、b、c是素数，记cbazbacyacbx,,，当2,2yxyz时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【分析】281102222azazzyzazycbazbacya、b、c是素数，则zcba为整数，则1281ka，k为正整数．化简整理后，有akk2)1(3121,2(121121,1akk）aakk非质数2,332811zaazⅰ)112,2529,9,3bbzxxxyz,cbab1720173,17不能围成三角形;ⅱ)是合数9,16,4,2bxyz综上所述，以a、b、c不能围成三角形．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，．．．，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一个为m的“魔术数”．【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨设naaa...21，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设tkaii7，（6,5,4,3,2,1,0;,...,3,2,1tni），至少有一个为m的“魔术数”．因为maki10（k是m的位数)，是7的倍数，当6i时，而kia10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当7i时，而kia10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当7i时，依抽屉原理，kia10与m二者余数的和至少有一个是7，此时maki10被7整除，即n=7．