2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x≥，则函数1()1fxxx的最小值是．2．已知函数()exfx．若()2fab，则(3)(3)fafb的值是．3．已知数列na是各项均不为0的等差数列，公差为d，nS为前n项和，且满足221nnaS，*nN，则数列na的通项na．4．若函数2223,0,()2,0xxxfxxaxx≥是奇函数，则实数a的值是．5．已知函数10()lg||3fxx．若关于x的方程2()5()60fxfx的实根之和为m，则()fm的值是．6．设、都是锐角，且5cos5，3sin()5，则cos等于．7．四面体ABCD中，3AB，5CD，异面直线AB和CD之间的距离为4，夹角为o60，则四面体ABCD的体积为．8．若满足3ABC，3AC，BCm的ABC△恰有一解，则实数m的取值范围是．9．设集合1,2,,8S，A，B是S的两个非空子集，且A中的最大数小于B中的最小数，则这样的集合对(,)AB的个数是．10．如果正整数m可以表示为224xy(x，yZ)，那么称m为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a，b，c为正实数，xyzabc，1110xyz，求abc的值．12．已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，点B的坐标为(0,)b，直线1FB与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若21212MFFF，求双曲线C的离心率．13．如图，已知ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交边AC于点D，交边AB上的高CH于点E．以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G．求证：AGAE．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．