物理竞赛练习(二)

物理竞赛练习(二)1.如图所示，一粗细均匀的铁杆AB长为L，横截面积为S，将杆的全长分为n段，竖直落入水中，求第n段浸没于水的过程中，浮力所做的功的大小。2.如图所示，质量M=0.4kg的靶盒位于光滑水平的导轨上，连结靶盒弹簧的一端与墙壁固定，弹簧的劲度系数k=200N/m。当弹簧处于自然长度时。靶盒位于O点。P处有一固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒，每次发射出一颗水平速度v0=50m/s、质量m=0.10kg的球形子弹。当子弹打入靶盒后，便留在盒内（假定子弹与盒发生完全非弹性碰撞）。开始时靶盒静止。今约定，每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒。（1）若相继有6颗子弹进入了靶盒，问每一颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离各为多少？它从离开O点到回到O点经历的时间各为多少？（2）若P点到O点的距离为s=0.25m，问至少应发射几颗子弹，才能使靶盒不与发射器相碰。BAn1n123LPOMm03.一根有弹性的轻绳，自然长度为AB=L0=1m，假定它服从胡克定律F=-kx，轻绳自由悬挂于固定点A，如图19-36所示，当质量m=0.2kg的摆锤小球系于轻绳自由端B，轻绳伸长OB并在平衡位置O点静止，今将小球进一步下降到C点，使OC=0.01m，然后释放，已知小球将沿竖直方向作简谐振动，其周期=2s。试求：1,（1）轻绳的弹性模量。（2）小球位于D点时的速度，已知OD=0.05m。（3）小球从C点到D点所需的时间。（4）小球的最大动能。2．（1）将轻绳端点的小球升到A点然后释放，令其自由下落，试求小球第一次再返回A点所经过的时间。（2）对于（1）中所描述的小球运动，试画出时间t对小球速度v的关系图。4．正确使用压力锅的办法是：将已盖好密封锅盖的压力锅(如图26-13（a）)加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀S，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸汽，空气已全部排除，然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度(即设计时希望达到的温度)。现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为120℃，某人在海拔5000m的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水。(1)若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？(2)若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？(3)若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀，此时水温为27℃，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水。已知：水的饱和蒸汽压pw(t)与温度t的关系图线如图26-13（b）所示。大气压强p(z)与高度z的关系的简化图线如图26-13（c）所示，t=27℃时pW（27℃）=3.6×103Pa=3.6×103Pa，z=0处p（0）=1.013×105Pa。BBAAODC5．弹簧原长为L0，挂上金属板M后伸长了χ0，与下方另一固定金属板相距为d0，两板面积都是S，突然加上电压U，使M板正，下板负，结果M板振动起来，在其振动的平衡位置，两板距离为d1。求弹簧的劲度系数k及M板做微小振动的频率。6．如图所示，A、B、C、D为带电金属极板，长度均为L，其中A、B两板水平放置，相距d，电压为U1；C、D两板竖直放置，相距也是d，电压为U2，今有一电子经电压U0加速后，平行于金属板进入电场，当电子离开电场时，偏离了多少距离？这时它的动能是多大？（假使极板间的电场是匀强电场，并设电子未与极板相遇）注意，电子运动将是在两个互相垂直电场作用下的轨迹。ABCDlddxV1.分析：浮力gSxF，式中为水的密度，x为浸入水中的深度，Sg为常数，设Sg=k，则F=kx，浮力大小随浸入水中的深度x的改变而改变，所以不能用恒力做功的公式。解法一：第一段nL浸入水中时所受的浮力gnLSF1……第(n-1)段浸入水中时所受的浮力.)1(1gnLnSFn第n段浸入水中时所受的浮力为.gSLFn由于F=kx，而F是x的正比例函数，可以求出F在(n-1)段至n段浮力的平均值21nnFFF由此可求出第n段浸入水中的过程中浮力做的功222)12(])1([21nngSLnLgSLgnLnSnLFWn解法二：图17-32为浮力做功的示意图。第一段nL入水过程中浮力做的功记作1W，第二段记作2W，则2112)(2022nLSgnLgnLS所以相邻两段杆入水过程中浮力做功的差值为一常数d，即212)(nLSgWWdd就是等差数列的公差，由等差数列的通项公式：dnaan)1(1可得2222212)12()()1(2)1(nnSgLnLSgnnSgLdnWWn点评：若F是一个正比函数，可用FFF2maxmin得平均值求功；还可以用示功图求变力功。对线性变力来说，用平均力的功表达变力功和用示功图表达变力功是一样的，但对于非线性力来说，示功图上标出的面积就是变力所做的功。2.分析：第（1）问中，子弹进入靶盒后与靶盒相对静止，由动量定恒求得它们的共同速度，再由功能关系即求得最大距离。本问中有一点须明确，即靶盒到达O点时的运动方向必与子弹的运动方向相反。由于靶盒离开O点后为简谐运动，所求的时间恰为它的半周期。因其质量不断增加，故各次时间亦不相同，这一点解答时应注意。解：（1）在第一颗粒子弹打入靶盒的极短时间内，系统的动量守恒。设打入后靶盒获得的速度为1，则有10)(mMm(1)FOx1x2x3x1nxnx1W2W3WnW图17-3201mMm由于靶盒在滑动过程中机械能守恒，所以靶盒回到O点时，速度的大小仍为1，但方向相反。当第二颗子弹射入靶盒后，设靶盒的速度为2，则有210)2()(mMmMm得02(2)当第三颗子弹射入靶盒后，设靶盒的速度为3，则有30)3(mMm(3)得033mMm靶盒回到O点时的速度仍为3，但方向相反。当第四颗子弹射入靶盒后，设靶盒的速度为4，则有430)4()3(mMmMm得04(4)由上可知，凡第奇数颗子弹射入靶盒后，靶盒都会开始运动，但由于盒内子弹数增多，起动时的速度和振动的振幅都将减小，周期则增大；凡第偶数颗子弹射入靶盒后，它将立即停在O点。当第一颗子弹射入靶盒后，靶盒及其中的子弹的动能为211)(21mMEk(5)若靶盒离开O点最远距离为1x，则弹簧的势能为21121kxEp(6)由11pkEE，得)(50.0)(011mmMkmkmMx(7)第二颗子弹射入后，靶盒停在O点，故02x。由此类推，得),(42.0)3(3033mmMkmkmMx(8),04x)(37.0)5(5055mmMkmkmMx(9).06x用it表示第i颗子弹射入靶盒后，靶盒离开O点到又回到O点所经历的时间，iT表示对应的振动周期，则有),(10522121211skmMTt(10),02t),(106322121233skmMTt(11),04t),(107.6522121255skmMTt(12).06t（2）要使靶盒在停止射击后维持来回运动，则发射的子弹数n必须为奇数，即,12ln(13)其中l为正整数。这时，靶盒做简谐运动，其振幅即为靶盒离开O点的最远距离，应有s≥.)(0nmMkmxn(14)由(13)(14)式可得l≥5.722220mmMksm所以178nl，3解：1、（1）振动周期kmT/2)/(222.0442222mNTmk（2）作简谐振动时速度220xx，式中mOCx10.00，mODx05.0，)(27.005.010.0),(2/21221mss（3）小球从O运动到D所需时间为1t110sin10.005.0,sinttxxsttt61,6.,21sin111小球从O运动到C所需时间2t为周期的41，即)(212412st，则小球从C运动到D所需时间xt为)(31612112stttx（4）小球的最大动能为)(01.010.022121212202maxmaxJkxmE2．（1）将小球升到A点并且释放，设L为小球到达的最低点，这时它暂时静止，设K为最终静平衡位置。令0,xKLxBK（如图19-37所示）。利用xkmg计算x，得)(12102.0mkmgx利用能量守恒原理计算0x，在A点的势能等于在L点的弹性势能20200)(21)(xxkxxlmgABKL0Lmx1mx73.10图19-37即200)1(221)11(102.0xx由得mx30当小球再返回到A点所需的时间为)(2KLBKABttttABt为自由下落通过AB所需的时间，)(447.010/12/2/20sglghtABBKt是小球作简谐振动时从B点到K点所需时间ttxxsin73.11,sin0)(196.0,73.11sinstt即)(196.0stBK)(5.04sTtKL)(286.2)5.0196.0447.0(2st（2）时间t对小球速度的关系图如图19-38所示。4分析：压力锅中水沸腾时的温度，由相应饱和蒸气压所能达到的最大压强决定。(1)问中该压强就是当地的大气压；(2)问中该压强为当地大气压和压力阀的压强之和，而在(3)问中则要扣除锅内空气的压强，因而求解pW是本题的关键。解：(1)已知在海平面处，大气压强Pap3103.101)0(，在z=5000m处，大气压强Pap31053)5000(（1）此处水沸腾时的饱和蒸气压pW应等于此值。由图26-13（d）可知，对应的温度即沸点为t1=82℃（2）达到此温度时锅内水沸腾，温度不再升高，故在5000m高山上，若不加盖压力阀，锅内温度最高可达82℃。(2)由图26-13（d）可知，在t=120℃时，水的饱和蒸气压pW(120℃)=Pa310198，而在海平面处，大气压强Pap3103.101)0(。可见压力阀的附加压强为))(103.10110198()0()120(33PapCppWs)(107.963Pa（3）在5000m高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为))(1053107.96()5000(33Pappps)(107.1493Pa（4）若在t=t2时阀被顶起，则此时的pW应等于p，即ppW（5）由图26-13（d）可知t2=112℃（6）此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在5000m高山上锅内水的温度最高可达112℃。AAKBKbL斜率g斜率g0.451.1432.2863/lV5l图19-38(3)在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，且设空气不溶于水，设加压力阀时，内部水蒸气已饱和，由图26-13（d）可知，在t=27℃时，题中已给出水的饱和气压Papw3106.3)27(，这时锅内空气的压强(用pa表示)为))(106.31053()27()5000()27(33PaCpppWa)(104.493Pa（7）当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为t℃时，锅内空气压强为)(tpa，则有：27273)27(273)(aapttp))(100.457.164()(3Pattpa（8）若在tt时压力阀刚好开始被顶起，则有ptptpaW)()(（9）由此得))(7.16410105()()(3PattpptpaW（10）画出函数)(tppa的图线，取t=0,)(10105)0(3