初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全---圆

第十二章圆第一节圆的基本问题【知识点拨】1、不在同一直线上的三点可以确定一个圆。2、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性。这是圆最基本最重要的性质，是证明垂径定理的有力工具。3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这弦对的两条弧。实际上，一直线只要满足（1）经过圆心、（2）垂直于弦、（3）平分弦、（4）平分弦所对的弧中的一条、（5）平分弦所对弧中的另一条；在这五条中，只要有两条是正确的，则其他三条必然成立。4、如图，它是关于垂径定理及其推论的基本图形，一定要很好掌握。【赛题精选】例1、已知⊙O的半径为5cm，它的两条弦长是方程048142xx的两个根。求这两条平行弦间的距离。【说明】（1）要注意定理的条件及选择；（2）关于垂径定理及推论的基本图形要记清；（3）要能考虑到图中的两条平行弦相对于圆心有两种可能的位置关系。例2、如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，H是两条高的交点，OG⊥BC于G。求证：AH＝2OG。例3、⊙O的半径为2，其内一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧组成一弓形，求此弓形面积的最小值。【说明】圆的旋转对称性是圆的最基本的性质，要善于抓住这一性质处理相关问题。例4、在△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，则它的内切圆半径为（）A、2.6B、4C、13、D、8【说明】（1）此法对求任何三角形的内切圆的半径均适用；（2）另本题还可用切线长定理求解。例5、如图，⊙O1、⊙O2交于点A、B，过A的直线分别交⊙O2、⊙O3于M、N，C为MN的中点，P为O1O2的中点。求证：PA＝PC。【说明】本例主要用垂径定理证明，如按下图作两圆的直径AE、AF，延长AP交EF于G也可证明。【针对训练】第二节和圆有关的角【知识点拨】和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。圆周角是五种角的核心。本节只探讨前四种与圆有关的角，其中后两种角的概念及这四种角的有关性质如下：1、顶点在圆内的角叫圆内角（圆心角是圆内角的特殊情形）；2、顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角；3、度数定理（1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（2）圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。（3）圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。（4）圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半。（5）同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。（6）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。（7）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到这些角，因此，熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆问题中极其重要的一环。【赛题精选】例1、锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝600，∠BAC＝360，作OE⊥AB交劣弧AB于点E，连接EC，求∠OEC。【说明】（1）在平面几何中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论；（2）在圆中求角的大小经常需用与圆有关的角的定理。例2、已知在等腰△ABC中，AB＝AC，D为腰AC中点，DE平分∠ADB交AB于E，⊙ADE交BD于N。求证：BN＝2AE。【说明】（1）在同圆或等圆中，同弧和等弧不仅所对的圆心角、圆周角相等，而且弦也相等；（2）在圆中证明三角形全等、相似时，如需用角时常需考虑与圆有关的角；（3）本例中的两条线段AE、BN较为分散，把它们聚合到同一三角形BNE中就易于解决问题；（4）如图，本例中过A、E、D的圆与BD的延长线交于N点时的证法，可以自行证明。例3、已知M为劣弧AC的中点，B为AM上任一点，MD⊥BC于D。求证：AB＋BD＝DC。【说明】证明一线段等于另两线段之和一般可采用“接短法”或“截长法”。例4、已知圆内四边形ABCD的对角线互相垂直，过点A、B作CD的垂线（垂足为A1、B1）分别交对角线AC、BD于M、K。求证：四边形AKMB是菱形。【说明】（1）要证明四边形是一特殊平行四边形，一定要抓住有关概念和有关判定定理采用分层推进、各个击破的方法逐一证得所需的条件；(2)在寻找具体方法时要结合题中具体条件和图形，选择适当的证明方法。例5、⊙O内有两条互相垂直的弦AC、BD。求证：AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝定值。【说明】在处理探索问题时除了常用的特殊位置来探求结果，还经常考虑一些极端情形，以求获得探索结果。如D重合于A时，即有AD＝0、BC＝2R，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AB2＋BC2＋CA2＝2×（2R）2＝8R2。例6、已知折线ACD是⊙O的一条折弦，点B在⊙O上，且AB＝AB，BM⊥AC于M。求证：AM＝MC＋CD。【说明】（1）本题是江苏省第12届初中数学竞赛第六题，这也是著名的阿基米德折弦定理。（2）它的证明方法有多种，下面三种辅助线的情形自己证明。【针对训练】第三节圆的内接四边形与四点共圆【知识点拨】圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形。此节中涉及两个基本问题：（1）四点共圆的判定；（2）四点共圆的性质的应用。证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等、相似占有同等重要的地位。实际上，在许多题目中的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质，开拓了新的思路。判定四点共圆的方法：1、到一定点等距离的几个点共圆；2、同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；6、四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆。7、四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆。上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也是成立的。另外，还有关于四边形与对角线之间长度关系的托勒密定理也是很重要的。即：如果四边形ABCD四个顶点共圆，那么AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。【赛题精选】例1、求证：同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。【说明】（1）证明一些最基本的问题，在条件很少时可考虑用反证法。（2）在反证时，不要漏掉结论反而面的各种情况。例2、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线，其与各边的交点分别是E、F、G、H。证明：E、F、G、H四点共圆。【说明】在证明四点共圆时，如能知道圆心的位置，可设法用圆的定义证。例3、⊙O1与⊙O2相交于A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙O1于C、D，割线PEF交⊙O2于E、F。求证：C、D、E、F四点共圆。【变题】：如右下图，两圆交于点A、B，点P为BA的延长线上一点，两割线PCD、PEF分别交于圆C、D和E、F，且D、B、F三点共线。求证：A、C、P、E四点共圆。例4、证明：锐角三角形三条高是垂足连成三角形的内角平分线。【说明】要充分利用已知的垂直关系再考虑到要证明角的相等关系，故应构造圆，利用圆中有关的角来过渡。例5、已知P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。PO与AB交于M，过M作⊙O的弦CD。求证：∠CPO＝∠DPO。【说明】在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决，而我们需要直接用的圆并不存在［有时问题中条件就根本没有涉及圆，有时虽然在题中讲到圆，但此圆并不是我们直接要用的圆（如本题）］，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要到的实际存在的圆找出来。例6、求证：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积，那么这个四边形是圆内接四边形。【说明】（1）本题又给出了证明四点共圆的一种方法，它是利用四边形的边和对角线的长度来判定的。（2）其逆命题是著名的托勒密定理，并且该定理有着广泛的运用。下面介绍托勒密定理的证明及其应用。例7、已知四边形ABCD内接于圆。求证：AB·DC＋BC·AD＝AC·BD。例8、已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4。求证：BCACAB111。【说明】（1）在一个证明题中，如从要证明的结论出发能变为和托勒密定理反映的和圆的内接四边形的性质的结论类似的形式，可考虑构造圆，然后用托勒密定理。（2）在一些计算题中，题中给了圆，如一般方法不秦奏效，不妨试一试托勒密定理。（3）本题若以C为圆心，CB长为半径作弧交AB于D、交AC于E，连接CD、DE，并设∠A＝α，∠B＝2α，∠C＝4α，△ABC的内角和为7α，请自己证明，并比较两种证法。（4）本题实际上提供了本书第十一章第一节相似三角形中例6的又一种证法。关于托勒密定理还有如下的推广：在凸四边形ABCD中，AB·DC＋BC·AD≥AC·BD，当且仅当四边形内接于圆时取等号。例9、已知两同心圆O，四边形ABVD内接于圆，AB、BC、CD、DA的延长线交外圆于A1、B1、C1、D1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍。求证：四边形A1B1C1D1的周长≥2倍四边形ABCD的周长，并确定等号成立的条件。【针对训练】第四节圆幂定理【知识点拨】1、相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值）。如图，即22rOPPBPA＝定值。2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。【赛题精选】例1、在△ABC中，AM、AD分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L，交AC于N。求证：BL＝CN。例2、⊙O1与⊙O2相交于M、N，D是NM延长线上一点，O2O1的延长线交⊙O1于B、A，AD交⊙O2于C，MN交O1O2、BC于E、G。求证：EM2＝ED·EG。【说明】（1）在圆中要证明比例线段或证明线段积等情况通常找中间比或中间积过渡。（2）此题若再“已知⊙O1、⊙O2的半径分别是4、6，且OO＝5”，而且改为求“ED·EG”，则如何求解？请自行证明。例3、⊙O与⊙O相交于M、N，公切线为AB、CD，直线MN交AB、CD于点E、F。求证：EF2＝AB2＋MN2。【说明】本例是紧抓AB＝4AE＝4EM·EN，采用先拆后合的方法导出结论的。而有的形如本例结论形式的问题还要通过找中间比或中间积来过渡。如下例：例4、四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆于P，FS切圆于S。求证：EF2＝EP2＋FS2。【说明】在该题中，如再分别以点E、F为圆心，EP、FS为半径，作弦在圆内交于点H，则可证明EH⊥FH。例5、B是⊙O的切线PA的中点，过B引⊙O的割线与⊙O交于点D、C，PD的延长线交⊙O于E，PC交⊙O于F。求证：AP∥EF。例6、证明：三角形三条平分线的积小于三条边的积。例7、AB是⊙O中任意一弦，M为AB中点，过M任意作两条弦CD、EF，连接CE｜DF分别交AB于G、H。求证：MG＝MH。【说明】本例是著名的“蝴蝶定理”，可通过改头换面，加以适当变形，使之成为一道初等数学问题。例8、在Rt△ABC中，D在斜边BC上，BD＝4DC，一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。【针对训练】第五节圆与直线、圆与圆的位置关系【知识点拨】1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系相离0d＞r相切1d＝r相交2d＜r2、圆与圆的位置关系两圆位置关系公共点个数圆心距d与两圆半径R、r（R＞r）的关系外分切线条数内公切线条数外离0d＞R＋r22外切1d＝R＋r21相交2R－r＜d＜R＋r20内切1d＝R－r10内含