初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛专题选讲三角形的边角性质一、内容提要三角形边角性质主要的有：1.边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：a,b,c是△ABC的边长bacbabacacbcba＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2.角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。推广到任意多边形：四边形内角和=2×180，五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180n边形内角和=(n－2)1803.边与角的关系①在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。②在直角三角形中，△ABC中∠C=Rt∠222cba(勾股定理及逆定理)△ABC中30ARtCa：b：c=1：3：2△ABC中45ARtCa：b：c=1：1：2二、例题例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组141312131214121413aaaaaaaaa解得51135.1aa∴1.5a5答当1.5a5时，三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形例2.如图ABCDAB=x，AC=y,AD=z若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？①x2z,②yx+2z,③y2z解由已知AB=x,BC=y－x,CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足下列不等式组：xyzxyxyyzxyzxyx即xzyzxzy2222∴222zxzxyzy答yx+2z和y2z必须满足。例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5,b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。解：由已知a=5，1≤b≤5，∵ca+b,∴5≤c≤9∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；555，556，557，558，559。例4.如图求角A，B，C，D，E，F的度数和解：四边形EFMN的内角和=360度∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝360度∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围(1989年泉州市初二数学双基赛题)解：根据题意，得21NMABCDEF18052CBAACCBA得∠C=75(180－∠B)，∠A＝72(180－∠B)∴72(180－∠B)≤∠B≤75(180－∠B)∴40≤∠B≤75例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2求各内角的度数解：作∠BCD的平分线交AD于E，△BCE≌△DCE（SAS）∴∠D＝∠CBE△BCE≌△BAE（SSS）∴∠CBE＝∠ABE＝∠D设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360∴X＝40（度）答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40三、练习1.△ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿2.a,b,c是△ABC的三边长，化简22)()(cbacba得＿＿3.已知△ABC的两边长a和b（ab）,则这个三角形的周长L的取值范是＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题）5.各边都是整数且周长小于13，符合条件的①不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿②等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角（1986年泉州市初二数学双基赛题）9.△ABC中，abc,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二数学双基赛题）12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度A4231BCD（1986年泉州市初二数学双基赛题）13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题）（这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角）16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题）17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm(1988年泉州市初二数学双基赛题)CBAEBCDDA18.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则BMAB的值是（）（A）大于21（B）大于32（C）大于31（D）大于4319不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（1989年泉州市初二数学双基赛题）20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。练习题参考答案1.2＜c12,hc≤5D7654321AFEDCBABCEJABCD2.2c3.2bL2a+2b4.31个5.①3个②15个6.s21＜xs417.1AD138.2个9.0＜∠C＜6010.6011.7012.36013.54014.1015.54016.10817.618.（B）19.3个20.100