初中数学竞赛模拟试题(2)

初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4ba，042cab，则ba＝（）（A）4（B）0（C）2（D）－22．方程xxxx||34||的实根的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）43．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（）（A）21（B）22（C）25（D）264．已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（）个半径为3的圆与它们都相切．（A）2（B）4（C）5（D）65．一个商人用m元（m是正整数）买来了n台（n为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n的最小值是（）（A）11（B）13（C）17（D）19二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积为．7．△ABC的三边长a、b、c满足8cb，52122aabc，则△ABC的周长等于．8．若x表示不超过x的最大整数，且满足方程04953xx，则x＝．9．若直线1103457323yx与直线897543177yx的交点坐标是（a，b），则222004ba的值是．10．抛物线5422xxy向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C，则C关于y轴对称的抛物线解析式是．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°＋21∠C，求CE的长．（第11题）12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？ADBCE13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p、q，二次函数pqxxy2的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S△ABC≤1．（1）求pq42的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq．14．已知n是正整数，且12n与13n都是完全平方数．是否存在n，使得35n是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B2．A3．C4．D5．C二、填空题6．8cm2或32cm27．148．3199．200810．3822xxy三、解答题11．作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H．则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋21∠C。因为∠AED＝90°＋21∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB。又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH。∴△FCH≌△BCH。∴CF＝CB＝4，∴AF＝AC－CF＝7－4＝3。∵AD＝DB，BF∥DE，∴AE＝EF＝1.5，∴CE＝5.5．12．设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则3815)1(6xyySSx∴3)1(6)15(8SS，解得5.55S．∵S为正整数，∴S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6x，6+60330=11.5（时）答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．13．（1）设A（1x，0），B（2x，0），（21xx），则1x、2x是方程02pqxx的两个不同的实根，所以ADBCEFGHqxx21，pxx21，042pq．又442qpyc（cy表示点C的纵坐标），所以S△ABC＝144421||||212221qppqyxxc，从而64)4(32pq，442pq．故0＜442pq．（2）由（1）知，pq421，2，3，4．因为2q被4除余数为0或1，故pq42被4除余数也是0或1，从而pq421，或4．这两个方程中符合题意的整数解有,32pp,56pp,43pp.68pp故所有两位数pq为23，65，34，86．14．设212kn，213mn，其中k，m都是正整数，则)2)(2(4)13()12(43522mkmkmknnn．若12mk，则35n不是质数．若12mk，则12235mmkn，于是2)35()13(2)12(12)1(222nnmmmmm02n，矛盾．综上所述，不存在正整数n，使得35n是质数．