上海交通大学附属中学2013高二数学试卷答案

上海交通大学附属中学2012-2013学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若复数3aii（Ra）是纯虚数，则a.【答案】312.7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有种不同的排法。【答案】2403.在5(32)xy的展开式中，若各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则ab=．【答案】334.若在nxx)1(2展开式中，x的一次项是第六项，则n=。【答案】85.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为。【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有11234333216CCCP6.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为．（结果用最简分数表示）【答案】5117.若复数z满足61()31izii≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为.【答案】38.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______.【答案】3:29.已知1321zzz，则122331123zzzzzzzzz。【答案】110在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】1311.不等式31416151nnnnCCCC的解集为。【答案】9,8,712.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．【答案】26613.我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为crS21。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是。【答案】RSV3114.正方体平面展开图有很多种，例如：那么，正方体的平面展开图共种。【答案】11除了上面的情况之外，其它的展开图是：二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15、实系数方程)0(02acbxax在复数集内有两根,，则()（A）042acb.（B）4)(2.（C）与互为共轭复数（D）acab,【答案】D16、某学校有青年教师160人，中年教师人数是老年教师人数的2倍，老、中、青教师共有430人.为了解教师身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年教师32人，则该样本中的老年教师人数为（）(A)16.(B)18.(C)27.(D)36.【答案】B17.从装有1n个球的口袋中取出m个球（Nnmnm，，0），共有mnC1种取法。在这mnC1种取法中，可以分成一个指定的球被取到和未被取到两类：一类是该指定的球未被取到，共有mnCC01种取法；另一类是该指定的球被取到，共有111mnCC种取法。显然mnmnmnCCCCC111101，即有等式：mnmnmnCCC11成立。试根据上述思想，则有：kmnkkmnkmnkmnCCCCCCC2211（其中Nnmknmk，，，1）为（）A.mknCB.mknC1C.1mknCD.kmnC【答案】AFD1C1B1A1DCBAEFD1C1B1A1DCBAE18.设123,,lll为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①存在iiAl(1,2,3)i，使得123AAA是直角三角形；②存在iiAl(1,2,3)i，使得123AAA是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)iAi，使得四面体1234AAAA为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．①②D．②③【答案】C三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有4个小题，每1小题满分3分．已知复数z=(2m2+3m－2)+(m2+m－2)i，(m∈R)根据下列条件，求m值.(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝0.【答案】(1)当m2+m－2=0，即m=－2或m=1时，z为实数；……………3分(2)当m2+m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数；……………6分(3)当222m+3m2=0m+m20，解得1m=m=22m2m1或且，即1m=2时，z为纯虚数；……………9分(4)当222m+3m2=0m+m20，解得1m=m=22m2m1或或，即m=－2时，z=0.……12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E,F分别为线段1DD,BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角；（2）求三棱锥11CBDF的体积．【答案】解：（1）连1BD，由E、F分别为线段1DD、BD的中点，可得EF∥1BD，故1DBC即为异面直线EF与BC所成的角．…………………2分在正方体1111ABCDABCD中，∵BC平面11CDDC，1CD平面11CDDC，∴1BCCD，在Rt△1BCD中，2BC，122CD，∴11tan2DCDBCBC，∴1arctan2DBC．所以异面直线EF与BC所成的角为arctan2．………7分（2）在正方体1111ABCDABCD中，由1BB平面ABCD，CF平面ABCD，可知1BBCF，∵CBCD，F是BD中点，∴CFBD，又1BB与BD相交，∴CF平面11BDDB，…………………………9分又11111112222222BDFSBDBB，故1111114222333CBDFBDFVSCF，所以三棱锥11CBDF的体积为43．……………………………………14分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题、第2小题各满分5分，第3小题满分4分．某人连续6次射击靶标，不考虑环数，把每次命中与否记录下来.（1）恰好命中2次的结果有多少种？（2）命中3次且恰好有2次连续命中的概率？（按四舍五入精确到1%）（3）如果该人一次射击命中率为80%，命中3次以上（含3次）的概率为多少？（按四舍五入精确到1%））【答案】（1）15……5分（2）1219%64……5分（3）307298%3125……4分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知方程320(,,,axbxcxdabcd为复数）.（1）若1,0,8abcd，解方程；（2）若1,2(1),9,5(1),abkcdkkR，方程有一个模为5的虚根，求实数k的值，并解此方程。（3）若0,1,,(,,abczdzizuviuvRi，为虚数单位）恒有一个根（为实数），求复数z“在复平面上”对应的点Z的轨迹方程.答案：（1）1232,13,13xxixi………4分（2）设方程的根分别为,,(abiabica、b、cR)则225ab，原方程可化为()()()0xabixabixc，………6分得32(2)(25)50xacxacxc………8分得(2)2(1)(25)5955(1)ackacck求得1,3kk；3k时，根为-2，12,12ii1k时，根为2，12,12ii………10分（3）因为20zzi，由(,)zuviuvR，则z对应的点Z的坐标为(,)uv，将zuvi带入方程得2()0uvvui，………12分所以20102uvvu……14分当0v时，得0u，即轨迹过原点；……15分当0v时，得uv，代入(1)消去参数，有20uuuvvv，即321vuv，此方程的曲线过原点，即所求轨迹方程为：321vuv………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知：三棱锥P-ABC中∠APB=∠BPC=∠CPA=90º，PA=a，PB=b，PC=c，设S=S△ABC，S1=S△PBC，S2=S△PAC，S3=S△PAB，PO⊥底面ABC于O，PO=h，设S'1=S△OBC；S'2=S△OAC；S'3=S△OAB；(1)已知S1=6,S'1=2,求S,并写出S1,S'1,S的一个等式关系(不必证明)；(2)已知S1=5,S2=6,S=9求S3的值,并写出S1,S2,S3,S满足的一个等式关系(不必证明)；(3)将21h用a，b，c表示.参考答案：解：（1）S=18…………4分∵PABPC平面∴PCPD,即△PCD为直角三角形，在直角三角形中有PD2=OD.DC,两边同乘以221ABDCABODABPDAB.21.21.212SSS'323………………6分（2）203S………………9分由上题知SSSSSSSSS'323'222'121三式相加得：S12+S22+S32=（'1S+'2S+'3S）S即：S12+S22+S32=S2………………12分（3）22221111cbah解法一、在Rt△PCD中，h为斜边上的高，则222111bPDh(1)………14分在Rt△APB中，PD为斜边上的高,21PD=2211ba(2)………16分将(2)代入(1)得：22221111cbah,……18分解法二、设三棱锥P-ABC的体积为V,则分别取四个面为底面可得：V=31hSh1=VS3；V=31aS3a1=VS33；V=31bS2b1=VS32；V=31cS1c1=VS31………………16分2222232221222111)3()3(1cbaVSSSVSh……18分