平面初中几何竞赛题

2006江苏省数学学会初中奥林匹克数学夏令营初中数学竞赛中的平面几何（学生班级用）满涛2006年7月亲爱的同学们，欢迎你们参加江苏省初中生数学夏令营。数学学习是艰苦的，也是美妙有趣的，几何问题特别能够体现数学的美妙。竞赛中的几何又比我们平时学习的几何要高一个层次，但又能体现她的美丽。单墫教授曾经在我本科学习的时候提及了一本小书——《平面几何中的小花》，从那时起，我喜欢上几何……对于要参加江苏省初中生数学竞赛的你们，我从近两年的竞赛真题讲起，从分析竞赛真题到触类旁通，归纳出：◆如何复习全面的几何知识◆如何掌握解决几何问题的一般方法◆几何问题需要的能力◆与几何问题相关的其他问题▲面积问题1、（20届省竞赛）如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD：CD＝3：2，AE：CE=2：1．那么S⊿BOC：S⊿AOC：S⊿AOB为(A)2：3：4(B)2：3：5(C)3：4：5(D)3：4：6从本题推想到三角形的面积，和求面积的比例方法。（中线相交、中线的比，面积问题系列）同样，2004年第19届的一道问题2、如图，正方形ABCD面积为144cm2，P为BC边上的任意一点，E为AP的中点，F为PD上的一点，且DF=2FP，则△PEF的面积是_____________cm2．还有几道关于三角形的问题3、（20届省竞赛）下面有三个判断：(1)存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直．ABCDPEF2006江苏省数学学会初中奥林匹克数学夏令营122.54.57(2)存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：3．(3)存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．其中正确的判断有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、下列4个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。▲面积与最优化有关的问题5、（20届省竞赛）平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°．要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为．6、将长为156cm的铁丝剪成两段，每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形，则这两个正方形面积和的最小值是cm2．7、如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于()(A)14(a2+b2)(B)12(a2+b2)(C)18(a+b)2(D)14ab由这一题目联想到2004年初二的一道试题8、凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？同样是给几个联加号，应该同样考虑不等式9、四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD。10、长边与短边之比为2：1的长方形为“标准长方形”。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5的5个不同“标准长方形”拼成的大长方形记为（a1、a2、a3、a4、a5），如图，短边长分别为1，2，2.5，4.5，7的“标准长方形”拼成的大长方形记为（1，2，2.5，4.5，7），解答下列问题：（1）写出长方形（1，2，5，a4，a5）中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形（用上述长方形的记法表示出来），并画出其中两个符合要求的长方形示意图。（2）所有这些长方形（1，2，5，a4，a5）的面积的最大值是多少？2006江苏省数学学会初中奥林匹克数学夏令营▲与角度有关的问题11、如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系(1)p=2q；(2)q=r；(3)p+s=180°中，正确的是()(A)只有(1)和(2)(B)只有(1)和(3)(C)只有(2)和(3)(D)(1)、(2)和(3)12、如图，DC∥AB，∠BAF=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=.13、在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=700，则∠ADC等于()(A)1450(B)1500(C)1550(D)160014、如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN()(A)等于700(B)等于600(C)等于500(D)大小不确定▲几何计数问题15、设一个三角形的三边长为正整数,,anb，其中bna。则对于给定的边长n，所有这样的三角形的个数是（A）n（B）1n（C）2nn（D）1(1)2nn16、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个17、在一张3×3的方格纸上（如图），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖列被涂方格的个数都是奇数。如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是2006江苏省数学学会初中奥林匹克数学夏令营不同类型的涂法。例如图1和图2是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。引申到4×4的方格。18、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有W条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°之一，问：（1）W的最大值是多少？（2）当W取最大值时，问所有的“交角”的和是多少？19、右图中，在圆周上有十个等分点，每隔两个等分点用一条线段连接两个等分点，共十条线段，它们彼此相交，构成各种几何图形。请回答：图中共有多少个三边形？图中共有多少个四边形？（包括凹四边形）▲其他20、如图，在五边形ABCDE中，M、N分别是AB、AE的中点，四边形AMPN，△CPM，△CPD，△DPN的面积分别为9、6、9、6。求五边形ABCDE的面积。9966NMEDCBAP