高中数学竞赛专题练习——立体几何

竞赛试题选讲之立体几何一、选择题部分1.（2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为（C）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.1B.2C.3D.大于32、（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体1111ABCDABCD中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB11CD均成030角，则这样的直线l的条数为(B)A.1B.2C.3D.43．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式PSPRPQ111（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=31S△PQR·h=21(31PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，31S△PQR·d=31△PRS·d+31S△PRS·d+31△PQS·d=213dPQ·PRsinα+213dPS·PRsinα+213dPQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即dPSPRPQsin111=常数。故选D。4．（2006年江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDABCD的12条棱所在直线成等角的直线共有（C）A0条B1条C4条D无数多条5.（2006天津）已知P为四面体ABCS的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（A）圆或椭圆（B）椭圆或双曲线（C）双曲线或抛物线（D）抛物线或椭圆（D）6．（2006年南昌市）四棱锥PABCD的底面ABCD是单位正方形(,,,ABCD按反时针方向排列),侧棱PB垂直于底面,且PB＝3,记APD,则sin＝(C)A.22B.33C.55D.667．(2005年浙江)正方体的截平面不可能是：(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形；下述选项正确的是：(B)(A)(1)(2)(5)(B)(1)(2)(4)(C)(2)(3)(4)(D)(3)(4)(5)【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。选【B】8．(2005全国)如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，得到一个以平行平面ABDDBC与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱BA剪开，展平在一张平面上，得到一个11ABBA，而多边形W的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE），显然11AAEE，故l为定值。当E位于BA中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2243l与2363l，故S不为定值。选B。9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）(A)2006(B)21003(C)100310032(D)100210032.解：正2n边形nAAA221，对角线共有)32()32(221nnnn条。计算与一边21AA平行的对角线条数，因2121//nnAAAA，与21AA平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C。10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条。解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共2762312224C，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连20285条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。二、填空题部分1.（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为__12_.2、（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于33144．3．（2006年上海）在△ABC中，已知30,105AB，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得60CDE，且DE将△ABC的面积两等分，则2CDAC36．4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为4()()()()2smnpmnppmnnpm立方米．5、（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于336．（2006年江苏）长方体1111ABCDABCD中，已知14AB，13AD，则对角线1AC的取值范围是4,5．7.(2005全国)如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD3.解：,61)45sin21(31DABCVACBCAD即.12ACBCAD又,32233ACBCADACBCAD第7题图等号当且仅当12ACBCAD时成立，这时ADAB,1面ABC，3DC.8、（2004全国）如图、正方体1111ABCDABCD中，二面角11ABDA的度数是____________。解：连结1,DC1作CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。连结AC，设AB=1，则112,3.ACADBD1RtABD在中，1123ABADAEBD，在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAECEAE中,。0120,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mCED1C1A1B1ABDF