高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)

高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x不∈P},若A={y|y=x2}B={x|-3≤x≤3},再定义M△N=（M-N)∪(N-M），求A△B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是________.若A=},,3,2,1{n,则所有子集的元素之和是.3.已知集合},,,{4321aaaaA,},,,{24232221aaaaB,其中4321aaaa,并且都是正整数.若},{41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124,求集合A、B.*4.函数1000)),5((10003)(nnffnnnf，求)84(f(本讲重点迭代法)5.练习:定义:*,)))((()(Nnxfffxfnn个.已知)(xf是一次函数.当10231024)(10xxf．求)(xf的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x)(本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n10时,f(n)=f[f(n+5)].求f（7）(本讲重点迭代法)*8.已知f(1)=51且当n＞1时有)(1nf)1(1nf=2(n＋1)。求f(n)(n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A=}10,,3,2,1{所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10.x1/n或x1/m答案:1.【解】A{x|x≥0}B={x|-3≤x≤3}A-B={x|x＞3}B-A={x|-3≤x＜0}A△B={x|-3≤x＜0或x＞3}2.【解】〖分析〗已知},,2,1{n的所有的子集共有n2个.而对于},,2,1{ni,显然},,2,1{n中包含i的子集与集合},,1,1,,2,1{nii的子集个数相等.这就说明i在集合},,2,1{n的所有子集中一共出现12n次,即对所有的i求和,可得).(211ninniS集合},,2,1{n的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211nnnnn=.2)1(1nnn3.【解】4321aaaa,且},{41aaBA,211aa,又Na1,所以.11a又1041aa,可得94a,并且422aa或.423aa若922a,即32a,则有,12481931233aa解得53a或63a(舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{BA若923a,即33a,此时应有22a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得,}.81,25,9,1{},9,5,3,1{BA5【解】解：设f(x)=ax＋b(a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则n次f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋aab1)1(10由题设知：a10=1024且aab1)1(10=1023∴a=2，b=1或a=－2，b=－3∴f(x)=2x＋1或f(x)=－2x－38.解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1再依次令x=1，2，…，n－1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)f(n)=f(n－1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=2)1(nn∴f(x)=2)1(xx(x∈N+)高中思维训练班《高一数学》第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法3.抽象函数的周期问题*1例f(x)在x0上为增函数,且)()()(yfxfyxf.求:(1))1(f的值.(2)若1)6(f,解不等式2)1()3(xfxf2例f(x)对任意实数x与y都有f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当x0时,f(x)2(1)求证:f(x)在R上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)33练f(x)是定义在x0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x1时有f(x)0;f(3)=-1.(1)求f(1)和f(1/9)的值(2)证明f(x)在x1上是增函数(3)在x1上,若不等式f(x)+f(2-x)2成立,求x的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:)()(xfaxf)()(xfaxf)(1)(xfaxf5练习:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),以下结论正确的是(多选):______________A.f(2)=0B.f(x)=f(x+4)C.f(x)的图象关于直线x=0对称D.f(x+2)=f(-x)『课后作业』:6定义在x0上,当x1时,f(x)0;对任意的正实数x和y都有f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(x)在x0上为增函数(2)若f(5)=1,解不等式f(x+1)–f(2x)2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－)x(f1)x(f1,求证f(x)是周期函数7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n10时,f(n)=f[f(n+5)].求f（7）(本讲重点迭代法)*8.已知f(1)=51且当n＞1时有)(1nf)1(1nf=2(n＋1)。求f(n)(n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A=}10,,3,2,1{所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集作业答案:6.0x1/497.周期T=4m7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n10时,f(n)=f[f(n+5)].求f（7）(本讲重点迭代法))(1)(xfaxf*8.已知f(1)=51且当n＞1时有)(1nf)1(1nf=2(n＋1)。求f(n)(n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A=}10,,3,2,1{所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集『上讲课后作业回顾』:化学5.有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得氯化物的质量为9.5克，通过计算指出该金属的名称。(差量法)6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液?(十字交叉法)高中思维训练班《高一数学》第3讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解『重点掌握』:凑f(x)法计算函数的周期『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=-f（x）（1）证明：f（x）是周期函数，并求最小正周期（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x，求在[-1,0）上的解析式（T=2，已求好）（f（x）=-x-1，已求好）**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数（1）关于x=a,x=b对称.（2）关于(a,0),(b,0)对称.（3）关于(a,0),x=b对称.*3练对函数f(x),当x∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)为周期函数,并求出最小正周期f(x)=f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)T=10推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问：f(x)±g(x),f(x)g(x)是否是周期函数?若是,求出它们的周期?f(x)的周期为2，---f(x+2m)=f(x)g(x)的周期为3，---g(x+3n)=g(x)2与3的最小公倍数是6，---f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)----f(x)±g(x)是周期为6的周期函数；f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)--------f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。高中思维训练班《高一数学》第4讲-----函数的对称专题(下)第5讲-----对称与周期的关系『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1:两个函数的图象对称性性质1：)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。性质2：)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。性质3：)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。性质4：)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。性质5：)2(2)(xafbyxfy与关于点(,)ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(,)ab对称。性质6：)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。知识点2:单个函数的对称性性质1：函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图象关于直线2abx对称。证明：性质2：函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。证明：性质3：函数()yfax的图象与()yfbx的图象关于直线2bax对称。证明：知识点3:对称性和周期性之间的联系性质1：函数()yfx满足()()faxfax，()()fbxfbx()ab，求证：函数()yfx是周期函数。证明：性质2：函数()yfx满足()()faxfaxc和()()fbxfbxc()ab时，函数()yfx是周期函数。（函数()yfx图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yfx是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：性质3：函数()yfx有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba。证明：推论：若定义在R上的函数)(xf的图象关于直线ax和点)0,(b)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(4ab是它的一个周期证明：性质4：若函数()fx对定义域内的任意x满足：()()fxafxa,则2a为函数()fx的周期。（若()fx满足()()fxafxa则()fx的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：性质5：已知函数xfy对任意实数x,都有bxfxaf，则xfy是以2a为周期的函数证明：『例题与习题』:1例（2005高考·福建理）()fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且(2)0f，则方程()0fx在区间（0，6）内解的