第十一章 圆锥曲线【数学竞赛讲义】

第十一章圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即edPF||(0e1).第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为12222byax(ab0)，参数方程为sincosbyax（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为12222byay(ab0)。3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆12222byax，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2，与右焦点对应的准线为cax2；定义中的比e称为离心率，且ace，由c2+b2=a2知0e1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2222byax1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为12020byyaxx；2）斜率为k的切线方程为222bkakxy；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为2222cos2caabl。6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为12222byax，参数方程为tansecbyax（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为12222bxay。8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线12222byax(a,b0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为xaky，双曲线12222byax与12222byax有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222byax，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是2222cos2caab。10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为)0,2(p，准线方程为2px，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=2px；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为2cos12p。12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为椭圆；若e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为cos1eep。二、方法与例题1．与定义有关的问题。例1已知定点A（2，1），F是椭圆1162522yx的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c=2245=3,53ace.椭圆左准线的方程为325x，又因为1161254，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知53||||ePQPF，则35|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+35|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得4155x，又x0，所以点P坐标为)1,4155(例2已知P，'P为双曲线C：12222byax右支上两点，'PP延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠'PF1K=∠KF1Q.[证明]记右准线为l，作PDl于D，lEP'于E，因为EP'//PD，则|'||'|||||EPKPPDPK，又由定义|'||'|||||11EPFPePDPF，所以|'||||'||||'|||11KPPKEPPDFPPF，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠KFP1'=∠KF1Q。2．求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：2222byax=1（ab0）.F坐标为(-c,0).设另一焦点为'F。连结'AF，OP，则'21//AFOP。所以|FP|+|PO|=21(|FA|+|A'F|)=a.所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a|FO|=c），将此椭圆按向量m=(2c,0)平移，得到中心在原点的椭圆：1442222byax。由平移公式知，所求椭圆的方程为.14)2(42222byacx[解法二]相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)，则2,211yycxx，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆12222byax上，所以.1221221byax代入得关于点P的方程为14242222byacx。它表示中心为0,2c，焦点分别为F和O的椭圆。例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。[解]设P(x,y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-2a,0),B(x+2a,0),C(0,y-2b),D(0,y+2b),记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为442222byax，即.42222bayx当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当ab时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当ab时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。例5在坐标平面内，∠AOB=3，AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-3)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为Mtan23,23。由外心性质知.3tantan23y再由OBPM得23tan23xy×tanθ=-1。结合上式有)3tan(•tanθ=.2332x①又tanθ+)3tan(=.32y②又.3tan3tan3所以tanθ-)3tan(=3tantan13两边平方，再将①，②代入得1124)4(22yx。即为所求。3．定值问题。例6过双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点F作B1B2x轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。[证明]设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c,0),(c,ab2),(c,ab2)，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以.cossinsin,cossin20baacabxbaabc①所以222220coscossinsin2)sin(babacbbacx222222sincossinsin)sin(cbabacbba)sin)(sin()cossin(sin)sin(2bcbcbaacbba。由①得,)sin(cossin0xcbaba代入上式得,)sin(sin2020bcxabacx即cax2（定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。[证明]设222121,2,,2ypyBypyA，则2,2ypC，焦点为0,2pF，所以),2(121ypyOA，2,2ypOC，),22(121yppyFA，222,22yppyFB。由于FBFA//，所以py221•y2-2221222pypyypy1=0，即22)(2121ppyyyy=0。因为21yy，所以02221ppyy。所以022121yppyy，即0221221ypypy。所以OCOA//，即直线AC经过原点。例8椭圆12222byax上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：22||1||1OBOA为定值。[证明]设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=2，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有.1cossin,1sincos2222222222212221brarbrar即222221sincos1bar①.cossin1222222bar②①+②得222211||1||1baOBOA（定值）。4．最值问题。例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。[解]由题设a=1，b=33,记|OA|=r1,|OB|=r2,trr21，参考例8可得222111rr=4。设m=|AB|2=)12(41)11)((4122222122212221ttrrrrrr,因为222222222221sin1sincos1babaabar，且a2b2，所以2212111bra，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以batab。又函数f(x)=x+x1在1,22ab上单